Question

Determine a área, aproximada, da superficie do prisma pentagonal formado por duas regiões pentagonais regulares e cinco regiões retangulares.

A altura do prisma vale 20 cm e um dos lados da base do pentágono vale 10 cm.

Answer 1

✅ Após resolver todos os cálculos, concluímos que a área total do referido prisma é:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf A_{T} \cong 1344\:cm^{2}\:\:\:}}\end{gathered} }$

Sejam os dados:

            $\Large\begin{cases}H = 20\:cm\\ b = 10\:cm\end{cases}$

Como não foi mencionado na questão, vou supor que o referido prisma é reto cujas bases são formadas por pentágonos regulares. Desse modo, a área total "At" é igual à soma das áreas de todas as suas faces.

Sabendo que o referido prisma possui ao todo 7 faces - 2 pentagonais e 5 retangulares - então, podemos inicialmente definir a seguinte fórmula:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(I) \end{gathered}$      $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{T} = 2A_{B} + 5A_{F} \end{gathered}$

Agora devemos perceber que cada uma das bases do prisma forma um pentágono regular, que pode ser decomposto em 5 triângulos "T". Além disso, cada face lateral é formada por um retângulo "R". A partir disso podemos reescrever a equação "I", como:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(II) \end{gathered}$    $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{T} = 2\cdot5\cdot T + 5\cdot R \end{gathered}$                  

OBS: Estes triângulos não são equiláteros. Pois eles são isósceles.

A partir dessa observação podemos escrever as seguintes equações para as áreas de cada triângulo e cada retângulo, que são:

                 $\Large\begin{cases}T = \frac{bh}{2}\\ R = bH \end{cases}$

Substituindo estas equações na equação "II", temos:

       $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{T} = {\!\diagup\!\!\!\!2}\cdot5\cdot\frac{bh}{\!\diagup\!\!\!\!2} + 5\cdot bH \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 5bh + 5bH \end{gathered}$

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 5b(h + H) \end{gathered}$

Portanto, após as simplificações chegamos à:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(III) \end{gathered}$        $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{T} = 5b(h + H) \end{gathered}$

Chegando neste ponto percebemos que já conhecemos os valores de "b" e "H", mas o valor de "h", ainda não. Então devemos calcular "h".

Sabendo que "h" é a altura de cada triângulo da base e que a altura sempre atinge o ponto médio do cateto oposto, então cada triângulo pode ser decomposto em dois outros triângulos. Além disso, o ângulo central "Ac" do pentágono pode ser calculado dividindo-se 360° por "5", ou seja:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{C} = \frac{360}{n} \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= \frac{360}{5} \end{gathered}$

                          $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 72 \end{gathered}$

Portanto, o ângulo central do pentágono é:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{C} = 72^{\circ} \end{gathered}$

Como o triângulo foi dividido em outros dois triângulos congruentes, então o ângulo "A", será:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = \frac{72}{2} = 36 \end{gathered}$

Portanto, a medida do ângulo "A" é:

                  $\Large\displaystyle\begin{gathered}A = 36^{\circ} \end{gathered}$

Sabendo que "h" é igual ao apótema "a" e, sabendo que "a" é a tangente de 36°, então:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered}tg(A) = tg(36^{\circ}) = \frac{5}{a} \end{gathered}$

                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}tg(36^{\circ}) = \frac{5}{a} \end{gathered}$

Isolando "a", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(IV) \end{gathered}$            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}a = \frac{5}{tg(36^{\circ})} \end{gathered} }$

Substituindo "IV" em "III", temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered}\bf(V) \end{gathered}$      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}A_{T} = 5b\Bigg(\frac{5}{tg(36^{\circ})} + H\Bigg) \end{gathered} }$

Sabendo que o seno de 54° com "8" casas decimais é:

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}tg\:36^{\circ} = 0,72654253 \end{gathered}$

Agora, substituindo todos os valores na equação "V", usando 4 casas decimais na tangente, poderemos calcular o valor aproximado da área total. Então, temos:

                $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{T} = 5\cdot10\cdot\Bigg(\frac{5}{0,7265} + 20\Bigg) \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 5\cdot10\cdot( 6,8823+ 20) \end{gathered}$

                        $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 5\cdot10\cdot26,8823 \end{gathered}$

                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}= 1344\:cm^{2} \end{gathered}$

Portanto, a área total do referido prisma é:

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}A_{T} \cong 1344\:cm^{2} \end{gathered}$

Saiba mais:

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Answer 2

Área total da superfície do prisma pentagonal é de 1344cm²

Neste exercício devemos observar a planificação do prisma pentagonal (Ver figura em anexo)

Temos portanto duas faces pentagonais e 5 faces laterais retangulares, cuja base mede 10 cm e altura mede 20 cm

Observe que temos que calcular suas áreas.

Área total = Área da base inferior + área da base superior + 5 x (área lateral)

Área Total = AT

Área da base x 2 = AB.2

Área lateral =AL.5

$AT=2\cdot(AB)+5\cdot(AL)$

Área lateral é um retângulo, portanto = Base X altura

Área Lateral = 10cm x 20cm x 5

Área Lateral = 1000cm²

Área do pentágono.

Para descobrir  a área do pentágono devemos conhecer seu Apótema, que corresponde a altura de um dos 5 triângulos que o forma.

Devemos partir do centro da figura Pentágono, e descobrir seu valor de altura.

Uma vez descoberto a sua altura, temos como desenvolver os cálculos.

Perceba (Ver figura em anexo) que o Triângulo unitário formado pelo pelos 5 triângulos da base pentagonal são ISÓSCELES

Com um  dos lados conhecido no valor de 10cm

Bastando descobrir o valor do Apótema.

O ângulo formado será:

360°/5=72°

Temos um triângulo Isósceles com base = 10 cm e Ângulo central = 72°

Traçaremos uma perpendicular da base ao ângulo de 72°, teremos., portanto sua Bissetriz

Agora temos condições de determinar o valor da altura deste triângulo, que será exatamente o Apótema do Pentágono.

Por Trigonometria determinaremos sua altura.

Tangente de 36° = Cateto Oposto (Base/2) / Cateto Adjacente (Altura)

$Tangente~de~36^0=\dfrac{5cm}{Altura} \\ \\ \\ Altura=\dfrac{5cm}{0,7265} \\ \\ \\ Altura=6,88cm$

Vamos calcular a área do Pentágono

Área do Pentágono = 5.(Área do triângulo Isósceles) x 2

Área do Pentágono= AP

$AP=5\cdot\bigg(\dfrac{10cm\cdot6,88cm}{2} \bigg)\cdot2\\ \\ \\ AP=344cm^2$

Área total = 1000cm²+344cm²

Área Total=1344cm²

Para saber mais acesse o link abaixo
Área da superfície lateral de um prisma
https://brainly.com.br/tarefa/12142562