Question

Considere a PA (a1,a2,a3...) de razão r=1/√2-1 e a6= 1- √2. Determine o termo a1

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Considere a PA (a1,a2,a3...) de razão r=1/√2-1 e a6= 1- √2. Determine o termo a1

r = 1/(\/2 - 1) . (\/2+1)/(\/2+1)

r = (\/2+1)/(2-1)

r = (\/2 + 1)

a6 = 1 - \/2

r = \/2 + 1

an = a1 + (n-1).r

a6 = a1 + (6-1).r

a6 = a1 + 5r

1 - \/2 = a1 + 5.(\/2 + 1)

1 - \/2 = a1 + 5\/2 + 5

1 - 5 - 5\/2 - \/2 = a1

- 4 - 6\/2 = a1

a1 = - 4 - 6\/2

Answer 2

O primeiro termo da progressão aritmética é de $\boldsymbol{ \textstyle \sf a_1 = -4 - 6\sqrt{2} }$.

A Progressão Aritmética (P.A.) é uma sequência de números onde a diferença entre dois termos consecutivos é sempre a mesma. Essa diferença constante é chamada de razão da P.A..

$\large \boldsymbol{ \displaystyle \sf \sf P\:A \: ( a_1, a_2, a_3 , \cdots,a_n \: ) }$

Fórmula do Termo Geral:

$\large \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_n = a_1 \cdot (n-1) \cdot r }}$

Onde:

$\textstyle \sf a_1 \to$  primeiro termo;

$\textstyle \sf a_n \to$ último termo, termo geral ou n-ésimo termo;

$\textstyle \sf n \to$ número de termos( se for uma PA finita );

$\textstyle \sf r \to$ razão.

Dados fornecidos pelo enunciado:

$\large \displaystyle \sf \begin{cases} \sf r = \dfrac{1}{\sqrt{2} - 1 } \\ \\\sf a_6 = 1- \sqrt{2} \\\sf n = 6 \\ \sf a_1 = \:? \end{cases}$

Primeiro devemos racionlizar a razão.

$\large \displaystyle \sf \text { \sf r = \dfrac{1}{ \left(\sqrt{2} -1 \right) } \cdot \dfrac{ \sqrt{2} + 1 }{\left( \sqrt{2} +1 \right)} }$

$\large \displaystyle \sf \text { \sf r = \dfrac{\sqrt{2} + 1 }{\sqrt{4} - 1^2 } = \dfrac{\sqrt{2} + 1 }{2 - 1 } }$

$\large \displaystyle \sf \sf r = \sqrt{2} +1$

Substituindo esses valores na fórmula do termo geral, temos:

$\large \displaystyle \sf \sf a_n = a_1 +( n - 1) \cdot r$

$\large \displaystyle \sf \sf 1 - \sqrt{2} = a_1 +( 6 - 1) \cdot (\sqrt{2} + 1)$

$\large \displaystyle \sf \sf 1 - \sqrt{2} = a_1 +5 \cdot (\sqrt{2} + 1)$

$\large \displaystyle \sf \sf 1 - \sqrt{2} = a_1 +5 \sqrt{2} + 5$

$\large \displaystyle \sf \sf 1 - 5 -\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = a_1$

$\large \displaystyle \sf \sf -4 - 6\sqrt{2} = a_1$

$\boxed{ \boxed{ \boldsymbol{ \displaystyle \sf a_1 = - 4 - 6\sqrt{2} }} }$

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