Question

Considere a matriz $A= \left[\begin{array}{ccc}\\a&0\\b&1\end{array}\right]$, onde a e b são números reais. Se $A^{2}=A$ e A é invertível, então é?

Answer 1

 Ora, se a matriz é invertível, então seu determinante é diferente de zero.

$|A|\neq0\\\\a\cdot1-b\cdot0\neq0\\\\a\neq0$

 Façamos a igualdade...

$\\ A^2 = A \\\\ \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix} \\\\ \begin{pmatrix} a^2 & 0 \\ ab + b & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix} \\\\ \begin{cases} a^2 = a \\ ab + b = b\end{cases}$

 Resolvendo a 1ª equação do sistema encontramos dois valores (0 e 1) para "a", entretanto, apenas um deles satisfaz a condição do enunciado. Portanto, $\boxed{a = 1}$ 

 Segue,

$ab + b = b \\ ab = 0 \\ \boxed{b = 0}$