Question

Considere a matriz A = (aij) 2x2, definida por aij = 2i - j. Obtenha os elementos da matriz inversa de A.

a) a 11 = 1, a12 = 0, a21 = 3/2, a22 = 1/2
b) a 11 = 2, a12 = 0, a21 = 3/2, a22 = 1/2
c) a 11 = 1, a12 = 1, a21 = 3/2, a22 = -1/2
d) a 11 = 1, a12 = 0, a21 = -3/2, a22 = 1/2
a 11 = 1, a12 = -1, a21 = -3/2, a22 = 1/2

Answer 1

Devemos primeiramente criar a matriz genérica A de ordem 2x2 seguindo a lei " 2i - j ". Veja abaixo.

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right]$

Agora devemos calcular cada um dos termos da matriz que criamos, lembrando que cada elemento aij dessa matriz é calculado pela lei " 2i - j ".

$\large\begin{array}{lr} \sf a11 = 2i-j=2*1-1=\underline{\boxed{\red{\sf 1}}}\\\\\sf a21 = 2i-j=2*2-1=\underline{\boxed{\red{\sf 3}}}\\\\\sf a12 = 2i-j=2*1-2=\underline{\boxed{\red{\sf 0}}}\\\\\sf a22 = 2i-j=2*2-2=\underline{\boxed{\red{\sf 2}}}\end{array}$

Com isso podemos trocar os valores da matriz genérica 2x2 por:

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\end{array}\right] \Longleftrightarrow \large\sf \left[\begin{array}{ccc}1&0\\3&2\end{array}\right]$

Mas a questão pede a inversa de A, como já sabemos o valor da matriz A fica muito mais "easy" descobrir a inversa de A. Lembrando: A matriz inversa nada mais é do que A$\sf .^{-1}$ * A = A* A$\sf .^{-1}$ = I, parece difícil mas é bem tranquilo. Veja:

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}1&0\\3&2\end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}1*a+0*c&1*b+0*d\\3*a+2*c&3*b+2*d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

Perceba que toda multiplicação que envolva o zero sempre resultará em zero então:

$\large\sf \left[\begin{array}{ccc}1*a+\cancel{0*c}&1*b+\cancel{0*d}\\3*a+2*c&3*b+2*d\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\end{array}\right]$

$\large\begin{array}{lr} \sf 1a = 1 \\\sf a= \underline{\boxed{\red{\sf 1}}}\\ \\\\\sf 1b =0\\\\\sf b= \underline{\boxed{\red{\sf 0}}}\\\\\\\sf 3*a + 2*c =0\\\sf 3*1 + 2c=0\\\sf 3 +2c=0\\\sf 2c = -3\\\\\sf c=\underline{\boxed{\red{\sf \dfrac{-3}{2}}}}\\\\\\\sf 3*b + 2*d = 1\\\sf 3*0 + 2*d=1\\\sf 2d=1\\\\\sf d = \underline{\boxed{\red{\sf \dfrac{1}{2}}}} \end{array}$

Portanto os termos da matriz inversa de A são:

$\large\begin{array}{lr} \sf a11 =\underline{\boxed{\red{\sf 1}}}\\\\\sf a12 =\underline{\boxed{\red{\sf 0}}}\\\\\sf a21 =\underline{\boxed{\red{\sf -3/2}}}\\\\\sf a22 =\underline{\boxed{\red{\sf 1/2}}}\end{array}$

Alternativa correta é a d.

Espero ter ajudado.

Bons estudos.

• Att. FireClassis.