Question

Considere a matriz

A = [-2 ; 1 ; 12 ; -1] (veja na imagem)

De acordo com a matriz dada acima e os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, analise as alternativas e assinale aquela que apresenta um autovetor de A associado ao autovalor λ = 2:

Answer 1

O autovetor associado a λ = 2 é

                                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}v = \left(1, \ 4\right)\end{gathered}$

Portanto, alternativa E.

Para achar o autovetor associado a um autovalor temos que achar o kernel da seguinte matriz

                                              $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ker\left(A - \lambda I\right)\end{gathered}$

Portanto, subtraímos o autovalor da diagonal principal da nossa matriz e fazemos o kernel, dito isso temos então

               $\Large\displaystyle\begin{gathered}\ker\left(A-\lambda I\right) = \left[\begin{array}{c c | c}-2 -2 & 1 & 0\\ 12 & -1-2& 0\end{array}\right]\\ \\\ker\left(A-\lambda I\right) = \left[\begin{array}{c c | c}-4 & 1 & 0\\ 12 & -3& 0\end{array}\right]\\ \\\end{gathered}$

Obs: a matriz acima é a matriz diminuida, a expandida é dada por

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\begin{array}{c c}-4 & 1 \\12 & -3\\\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\alpha\\\beta\end{array}\right] =\left[\begin{array}{c}0 \\0\end{array}\right]\end{gathered}$

Agora basta escalonar essa matriz, neste caso é muito simples pois é só uma operação

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered}\left[\begin{array}{c c | c}-4 & 1 & 0\\ 12 & -3& 0\end{array}\right] \xrightarrow{3L_1 - L_2} \left[\begin{array}{c c | c}-4 & 1 & 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right] \end{gathered}$

Dai podemos dizer que

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}L_1 : -4\alpha + \beta = 0\\ \\\beta = 4\alpha \end{gathered}$

e descrevendo nosso autovetor como

                                      $\Large\displaystyle\begin{gathered}v = \left(\alpha,\ \beta\right)\\ \\v = \left(\alpha,\ 4\alpha\right)\\ \\v =\alpha \left(1,\ 4\right), \alpha \in \mathbb{R}\\ \\v = \left(1,\ 4\right)\end{gathered}$

Portanto esse é o autovetor associado a  λ = 2

Espero ter ajudado

Qualquer dúvida respondo nos comentários

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Autovalores e autovetores (matriz 3x3) - brainly.com.br/tarefa/40308453

Autovalores e autovetores (matriz 2x2) - brainly.com.br/tarefa/41797257