Question

Considere a função

$f(x) = 1 - \frac{4x}{(x+1)^{2}}$
a qual está definida para x \neq -1. Então, para todo x \neq 1 e x \neq -1, o produto f(x)f(–x) é igual a

Answer 1

Enunciado:

Considere a função  

$\displaystyle \mathtt{f(x) = 1 - \frac{4x}{(x+1)^2}}$

a qual está definida para $\displaystyle \mathtt{x \neq -1}$. Então, para todo $\displaystyle \mathtt{x \neq 1 \ e \ x \neq - 1}$, o produto $\displaystyle \mathtt{f(x) \cdot f(- x)}$ é igual a:

Resposta:

$\boxed{\mathtt{1}}$

Explicação passo-a-passo:

De acordo com o enunciado,

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) = 1 - \frac{4x}{(x + 1)^2}} \\\\\\ \mathsf{f(x) = \frac{x^2 + 2x + 1 - 4x}{(x + 1)^2}} \\\\\\ \mathsf{f(x) = \frac{(x - 1)^2}{(x + 1)^2}} \\\\\\ \boxed{\mathsf{f(x) = \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^2}}$

Com efeito, temos que:

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) = \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^2} \\\\\\ \mathsf{f(- x) = \left ( \frac{- x - 1}{- x + 1} \right )^2} \\\\\\ \mathsf{f(- x) = \left [ \frac{- (x + 1)}{- (x - 1)} \right ]^2} \\\\\\ \boxed{\mathsf{f(- x) = \left ( \frac{x + 1}{x - 1} \right )^2}}$

Por fim, uma vez que $\displaystyle \mathtt{x \neq \pm 1}$, fazemos:

$\\ \displaystyle \mathsf{f(x) \cdot f(- x) = \left ( \frac{x - 1}{x + 1} \right )^2 \cdot \left ( \frac{x + 1}{x - 1} \right )^2} \\\\\\ \mathsf{f(x) \cdot f(- x) = \left [ \frac{(x - 1) \cdot (x + 1)}{(x + 1) \cdot (x - 1)} \right ]^2} \\\\\\ \mathsf{f(x) \cdot f(- x) = 1^2} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{f(x) \cdot f(- x) = 1}}}$