Question

Considere a função real f(x)=x² - nx² - 3x.

Calcule f ' (a derivada de f) e calcule f ' (n). calcule lim quando x tende a n de x² + (n-3) x - 3n/x² - nx , se existir

Answer 1

1)

Para calcular a derivada de f, temos que aplicar a regra de derivação para polinômios, que pela propriedade da derivada, é a mesma coisa que derivar cada termo, logo a derivada é:

                                               $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^n\\ \\\frac{d}{dx}f(x) = nx^{n-1}\end{gathered}$

Então no nosso polinômio temos que a derivada é:

                                    $\Large\displaystyle\begin{gathered}f(x) = x^2 - nx^2 - 3x\\ \\\frac{d}{dx}f(x) = 2x - 2nx -3 \\ \Downarrow \\ \frac{d}{dx}f(x) = 2x\left(1-n\right) -3\end{gathered}$

No caso em que f'(x) = n temos que:

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(n) = 2n\left(1-n\right) -3\\ \\\frac{d}{dx}f(n) = -2n^2 + 2n - 3\\ \\\end{gathered}$

2)

Agora vamos calcular o limite:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to n} x^2 + x\left(n-3\right) - \frac{3n}{x^2}-nx\end{gathered}$

Mas antes de calcular ele de fato, vamos fazer algumas distributivas e colcocar termos em evidência para simplificar:

                                 $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to n} x^2 + xn - 3x - \frac{3n}{x^2}-xn\\ \Downarrow\\ \lim_{x \to n} x^2 - 3x - \frac{3n}{x^2}\\ \Downarrow\\ \lim_{x \to n} x^2 - 3\left(x + \frac{n}{x^2}\right)\\ \Downarrow\\ \lim_{x \to n} x^2 - 3\left(\frac{x^3+n}{x^2}\right)\end{gathered}$

Agora vamos de fato fazer o limite quando x → n, que será:

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered}\lim_{x \to n} n^2 - 3\left(\frac{n^3+n}{n^2}\right)\\ \\n^2 - 3\left(\frac{n^2+1}{n}\right)\\ \\n^2 - \frac{3n^2-3}{n}\\ \\n^2 - 3n - \frac{3}{n}\\ \\\end{gathered}$

Note que quando n → 0, a função tem uma assíntota vertical

Espero ter ajudado

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