Question

Considere a função real da variável real dada por f(x) = (x² – 4)(x² – 5x). É
verdade que ƒ é positiva se:

(A) x = 3
(B) 2 < x < 5
(C) x > 0
(D) x > –1
(E) x < –6

não consegui entender o pq deu x<-6, empaquei no x(x-5)=0

Answer 1

$\text {f(x)}=(\text x^2-4)(\text x^2-5\text x)$

f é positiva se : ...

As raízes são x = -2 , x = 0, x =2, x = 5. Mas saber as raízes não vai adiantar muito nessa questão, porque há  3 intervalos no qual f é positiva.

Então a ideia vai ser testar as alternativas.

item A) x = 3 :

$\text{f(3)}=( 3^2-4)(3^2-5.5) > 0 \\\\ \text{f(3)}=(9-4)(9-15)>0 \to \text{(FALSO)}$

item B) 2 < x < 5

Testando um valor arbitrário nesse intervalo, por exemplo, x = 4 :

$\text{f(4)}=(4^2-4)(4^2-5.4) > 0 \\\\ \text{f(4)} =(16-4)(16-20)>0 \to \text{(FALSO)}$

item C) x > 0

Através do teste do item B, vemos que isso é FALSO.

item D) x > -1

Então tem que valer para todos os valores maiores que -1, isso inclui os intervalos dos itens anteriores. Portanto item FALSO

Item E) x < -6

Testando um valor menor que -6, por exemplo, x = - 7 :

$\text f(-7)=[(-7)^2-4][(-7)^2-5.(-7)]>0 \\\\ \text f(-7) = [49-4][49-35]>0 \to \text{(VERDADEIRO)}$

Obs : Em algumas questões achar as raízes não será o suficiente, mesmo com derivada só encontraríamos pontos de máximos e mínimos. Então fica a dica de quando for assim ir testando as alternativas.

(imagem do gráfico mostrando os intervalos onde f é positiva )