Matemática, perguntado por alexandrevr81, 5 meses atrás

Considere a função → G ( u ) = ( u + 4 , u cos ( 2 u ) , 2 u s e n ( 2 u ) ) , definida para u real positivo. Assinale a alternativa que apresenta a equação da trajetória da curva espacial definida pela imagem da função → G ( u ) : (Ref.: 202013113133) x 2 − 4 y 2 − 4 z 2 − 32 y + 16 = 0 x 2 − y 2 + z 2 + 64 = 0 4 x 2 + 4 y 2 + z 2 + 32 x + 64 = 0
4 x 2 + y 2 − 4 z 2 − 16 x + 4 = 0
4 x 2 − 4 y 2 − z 2 − 32 x + 64 = 0

Soluções para a tarefa

Respondido por williamcanellas
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A equação da trajetória da curva espacial é dada por

4x^2-4y^2-z^2-32x+64=0

Geometria Analítica no R³ - Curvas Parametrizadas

Para responder a esta questão vamos precisar reescrever a equação da função G(u) (forma paramétrica) em sua forma com coordenadas cartesianas G(x,y,z).

Dada a função

G(u)=(u+4, 4\cdot \cos(2u), 2u\cdot \sin(2u))

Podemos reescrever da seguinte forma:

G(u)=G(x,y,z)=\begin{cases}x=u+4\\ y=u\cos (2u)\\z=2u\sin(2u)\end{cases}

Da primeira equação podemos fazer u=x-4 e substituindo nas outras equações teremos:

y=(x-4)\cdot \cos(2x-8)\\\\z=2(x-4)\cdot \sin(2x-8)

Elevando ambas as equações ao quadrado obtemos:

y^2=(x-4)^2\cdot \cos^2(2x-8)\\\\\dfrac{z^2}{4}=(x-4)^2\cdot \sin^2(2x-8)

Somando as equações e colocando o fator (x-4)^2 em evidência e simplificando a expressão temos:

y^2+\dfrac{z^2}{4}=(x-4)^2\cdot (\cos^2(2x-8)+\sin^2(2x-8))\\\\y^2+\dfrac{z^2}{4}=(x-4)^2\\\\4y^2+z^2=4(x-4)^2\\\\4x^2-4y^2-z^2-32x+64=0

Para saber mais sobre Curvas Parametrizadas acesse:

https://brainly.com.br/tarefa/10060242

#SPJ1

Anexos:
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