Question

Considere a função F(x) = x 4 − 6x 3 12x 2 − 10x 1. Determine: (a) Os pontos críticos de F(x), caso existam; (b) Os pontos que anulam F 00(x), caso existam; (c) Os pontos de máximo e mínimo de f(x), caso existam; (d) Os pontos de inflexão de F(x), caso existam.

Answer 1

f(x) = x⁴ - 6x³ + 12x ² - 10 x + 1  ( Estou suponto isso)
f '(x) = 4x³ - 18x² + 24x - 10

Perceba que 1 é raiz, f '(1) pois f '(1) = 0
f '(1) =4 . 1³ - 18 .1² + 24 .1 - 10 = 4 -18 + 24 - 10 = 28 - 28 =0

Vamos dividir f '(x) por x - 1, por Briot Rufinni
           4        -18         24         -10
 1        4        -14         10           0
 A equação do segundo grau será: 4x² - 14x + 10 = 0 ( dividir por 2)
2x² - 7x + 5 = 0
Δ = 49 - 40 = 9
x = (7 - 3) 4 = 1 ou
x = (7 + 3) /4 = 10/4 = 5/2
Logo as raízes de f '(x) são: 1( dupla) e 5/2
Portanto f(1) e f(5/2) nos fornece dois dos pontos críticos. Valor máximo ou valor mínimo. Vamos calcular:
f(1) = 1⁴ - 6.1³ + 12.1² - 10.1 + 1
f(1) = 1 - 6 + 12 -10 + 1 = -2 
 P(1, -2)
f(5/2) = 625/16 - 6.125/8 + 12.25/4 - 10.5/2 + 1 = -59/16
Q(5/2, -59/16)
 
Falta o(s) de inflexão da função, derivada segunda
 f '(x) = 4x³ - 18x² + 24x - 10
f " (x) = 12x² - 36x + 24
As raízes dessa equação nos fornece os pontos de inflexão da curva f
12x² - 36x + 24 = 0
x² - 3x + 2 = 0
Δ = 9 - 8 = 1
x= (3 - 1)/2 = 1
ou x = ( 3 + 1) /2 = 2

f( 1) = (1, -2) , já calculamos (coincidiu)
R( 1, -2)
 f(2) = 16 - 48 + 48 - 20 + 1 = -3
S(2, -3)
 Portanto os pontos críticos são:

P(1, -2) , Q( 5/2, -59/16)   e   S ( 2, -3)

OBS, R = S    Por isso que não anotei.