Matemática, perguntado por nessinhanl, 6 meses atrás

Considere a função f(x) = $\frac{2x^{5}}{5} - \frac{x^{4}}{4} -\frac{x^{3}}{3}$ , x ∈ R

a) Determine os pontos críticos de f;

b) Utilize o Teste da Derivada Primeira para classificar cada ponto crítico encontrado no item (a) como máximo relativo de f, mínimo relativo de f ou nenhum dos dois.

Soluções para a tarefa

Respondido por Lionelson

Para determinar os pontos críticos de f temos que calcular sua primeira derivada, e então as raízes da função f' serão os pontos críticos, i.e, se temos uma função f:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}f(x) = \frac{2x^5}{5} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^3}{3}\end{gathered}$}$

Então os pontos críticos são os pontos que satisfazem a condição:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(x) = 0\\ \Downarrow\\\underbrace{2x^4-x^3-x^2}_{\frac{d}{dx}f(x)} = 0\end{gathered}$}$

Portanto vamos achar as raízes dessa polinômio, vamos colocar x² em evidência, dessa forma

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(x)= x^2\left(2x^2 - x - 1\right) = 0\end{gathered}$}$

Como o polinômio tem grau 4, temos 4 raízes para ele, com a fatoração feita acima vemos que 0 é duas raízes dele, e que as outras duas podem ser obtidas resolvendo a quadrática dentro do expoente, e portanto as raízes são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\begin{cases}x_1 = -\frac{1}{2}\\ \\x_2 = 1\\ \\x_3 = x_4 = 0\end{cases}\end{gathered}$}$

Logo esses são os pontos críticos de f.

Para fazer o teste da primeira derivada temos que analisar o sinal da derivada entre os pontos críticos, ou seja, vamos ver quando a função é positiva e quando é negativa, pois

f'(x) > 0 - função crescente
f'(x) < 0 - função decrescente
f'(x) = 0 - ponto crítico

Utilizando a mesma fatoração anterior, podemos simplificar nossa análise:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\frac{d}{dx}f(x)= x^2\left(2x^2 - x - 1\right) \end{gathered}$}$

Como x² é sempre positivo, podemos analisar apenas o sinal da quadrática entre parênteses, pois ela que irá determinar o sinal da função, porém como ela é uma quadrática de concavidade para cima ela só fica negativa no intervalo entre suas raízes, que já calculamos, sendo x₁ e x₂, então entre x₁ e x₂ ela é negativa, portanto a função é descrente nesse intervalo, depois de x₂ ela passa a ser positiva e antes de x₁ ela também é positiva, logo crescente.

Ou seja, a função f é crescente até x₁, depois começa a decrescer, logo x₁ é um ponto de máximo local, e em x₂ ela começa descrecendo e depois passa a ficar crescente novamente, logo é um mínimo local.

Nessa análise também concluímos que no ponto 0 não temos nem mínimo nem máximo, e os pontos de máximo e mínimo locais são:

$\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\min\{f\} = f\left(1\right)\quad \max\{f\} = f\left(-\frac{1}{2}\right), x\in \left[-\frac{1}{2},1\right]\end{gathered}$}$