Question

Considere a funcao f(x) = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2 + 8
(a) Determine os pontos criticos de f.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$f(x) = 3x {}^{4} - 4x {}^{3} - 12x {}^{2} + 8$

Pelo que vi em outra postagem sua, a questão quer saber as seguintes informações:

• a) Pontos críticos de f(x):

Para encontrar os pontos críticos é necessário encontrar os valores que anulam a derivada primeira, então vamos começar derivando:

$f'(x) = 12x {}^{3} - 12x {}^{2} - 24x$

Igualando essa expressão a "0":

$12x {}^{3} - 12x {}^{2} - 24x = 0 \\ x.(12x {}^{2} - 12x - 24) = 0 \\ \begin{cases}x_1 = 0 \\x_2 =2 \\x_3 = - 1\end{cases}$

Esses são os pontos críticos da função.

• Intervalos de crescimento da função:

Os intervalos de crescimento e decrescimento da função é obtido através da derivada primeira também, então:

$12x {}^{3} - 12x {}^{2} - 24x > 0 \\ x.(12x {}^{2} - 12x - 24) > 0 \\ 12x.(x {}^{2} - x - 2) > 0$

Fatorando a expressão de dentro do parêntese:

$(x {}^{2} - x - 2) = (x - 2).(x + 1)$

Substituindo esse novo resultado:

$12x.(x - 2).(x + 1) > 0$

A análise será feita pela técnica da inequação produto. Devemos começar nomeando esses três termos que estão sendo multiplicado.

$h(x) = 12x \: \: \: \: \: \: j(x) = x - 2 \: \: \: \: \: i(x) = x + 1$

Encontrando as raízes dessas funções:

$para \: \: h(x) \longrightarrow 12x = 0\longrightarrow x = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ para \: \: j(x) \longrightarrow (x - 2) = 0\longrightarrow x = 2 \: \: \: \: \\ para \: \: i(x)\longrightarrow(x + 1) = 0\longrightarrow x = - 1$

Então temos que para h(x), valores a partir de "0" serão os positivos e antes de "0" serão os negativos. Para j(x) , valores a partir de "2" serão os positivos, antes desse ponto serão os negativos e por fim tem que i(x), que possuirá valores positivos a partir de - 1 e negativos antes de -1. Jogando essas informações no quadro:

$\boxed{ \boxed{\begin{array}{c|c|c|c|c}h(x)& + & -& - \\ i(x) & +& + & - \\ j (x) & - & - & - \\ h(x).i(x).j(x)& - & + & - &&\end{array}}} \\ \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: - 1 \: \: \: \: \: \: 0 \: \: \: \: \: \: 2 \: \: \:$

Como primeiro vamos descobrir os valores que para qual temos a função > 0, então devemos pegar o intervalo onde é positivo, então:

$( -1 , 0) \to crescente \\ (2, + \infty ) \to crescente$

Fazendo a mesma coisa só que para < 0:

$( - \infty , - 1) \to decrescente \\ (0,2) \to decrescente$

Esses são os intervalos.

• Máximos e mínimos relativos:

Os máximos e mínimos são simples de se encontrar, basta derivar a função duas vezes e substituir os pontos críticos na derivada segunda, dependendo do sinal, o valor será máximo ou mínimo local.

$f''(x) = 36x {}^{2} - 24x - 24$

Substituindo os pontos críticos na derivada:

$para \: x = 0 \\ f''(0) = 36.0 {}^{2} - 24.0 - 24 \\ f''(0) = - 24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ para \: x = 2 \\ f''(2) = 36.2 {}^{2} - 24.2 - 24 \\ f''(2) = 144 - 48 - 24 \: \: \: \: \: \: \\ f''(2) = 72 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ para \: x = - 1 \\ f''( - 1) = 36.( - 1) {}^{2} - 24. ( - 1) - 24 \\ f''( - 1) = 36 + 24 - 24 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ f''( - 1) = 36 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Lembrando uma coisinha da derivada segunda:

$f''(x) > 0 \to minimo \\ f''(x) < 0 \to maximo$

$x = 0 \to maximo \: \: \: \\ x = 2 \to minimo \: \: \: \: \\ x = - 1 \to minimo$

• Gráfico da função.

O gráfico não tem como eu te explicar, pq se não iria exceder o limite de palavras, pois teria que ser bem detalhado, nesse caso anexarei uma foto.

Espero ter ajudado