Question

Considere a função; f(x)=3cos(x)cotg(x).

Ao calcular a derivada um estudante realizou os seguintes passos:

Passo 1: Utilização de uma relação trigonométrica: f(x)=3 sobre cos2(x) dividido sen(x) . (Apenas o cos2(x) é dividido por sen(x))

Passo 2: Aplicação da regra do quociente para derivar f(x):

f′(x)=3 sobre −2sen(x)cos(x) dividido por cos(x). (Apenas o -2sen(x)cos(x) dividido por cos (x));

Passo 3: Utilizando a lei do cancelamento:

f′(x)=−6sen(x)



Preciso do desenvolvimento

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular a derivada da seguinte função:

$\mathsf{f(x)=3\cos(x)\cot(x)}$

Reescrevemos a função cotangente como: $\mathsf{\cot(x)=\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}}$

$\mathsf{f(x)=3\cos(x)\cdot\dfrac{\cos(x)}{\sin(x)}}$

Multiplique os termos

$\mathsf{f(x)=\dfrac{3\cos^2(x)}{\sin(x)}}$

Diferenciamos ambos os lados da função em respeito a variável $\mathsf{x}$:

$\mathsf{f'(x)=\left(\dfrac{3\cos^2(x)}{\sin(x)}}\right)'}$

Aplicamos a regra do quociente: $\mathsf{\left(a\cdot \dfrac{g(x)}{h(x)}\right)'=a\cdot\dfrac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{h(x)^2}}$, em que $\mathsf{a}$ é uma constante.

$\mathsf{f'(x)=3\cdot\dfrac{(\cos^2(x))'\cdot \sin(x)-\cos^2(x)\cdot(\sin(x))'}{\sin^2(x)}}$

Lembre-se que:

• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $\mathsf{(g(h(x)))'=h'(x)\cdot g'(h(x))}$.
• A derivada de uma potência é dada pela regra da potência: $\mathsf{(x^n)'=n\cdot x^{n-1}}$.
• A derivada da função cosseno é o oposto da função seno.
• A derivada da função seno é a função cosseno.

Aplique a regra da cadeia

$\mathsf{f'(x)=3\cdot\dfrac{(\cos(x))'\cdot2\cdot\cos(x)\cdot \sin(x)-\cos^2(x)\cdot(\sin(x))'}{\sin^2(x)}}$

Calcule a derivada da função cosseno e da função seno

$\mathsf{f'(x)=3\cdot\dfrac{(-\sin(x))\cdot2\cdot\cos(x)\cdot \sin(x)-\cos^2(x)\cdot\cos(x)}{\sin^2(x)}}$

Multiplique os valores

$\mathsf{f'(x)=\dfrac{-6\cos(x)\sin^2(x)-3\cos^3(x)}{\sin^2(x)}}$

Reescrevendo $\mathsf{\sin^2(x)=1-\cos^2(x)}$ no numerador, teremos:

$\mathsf{f'(x)=\dfrac{-6\cos(x)\cdot(1-\cos^2(x))-3\cos^3(x)}{\sin^2(x)}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\mathsf{f'(x)=\dfrac{-6\cos(x)+6\cos^3(x)-3\cos^3(x)}{\sin^2(x)}}$

Some os termos semelhantes e reorganize

$\mathsf{f'(x)=\dfrac{3\cos^3(x)-6\cos(x)}{\sin^2(x)}}$

Esta é a derivada desta função.