Question

Considere a função f(x) = 2x² + 1, para x ≥ 0. sendo g a função inversa de f, então, pode-se afirmar que o número real g (f (6)) + f (g (6)) pertence ao intervalo:

a) [0, 4]

b) [4, 13]

c) [20, 36]

d) [36, 73]

Answer 1

Existe uma propriedade da função inversa que é a seguinte -

Se temos uma função $f(x)$ e sua inversa sendo $g(x)$, então podemos afirmar que :

$\fbox{\displaystyle g(f(x)) = x }$  

do contrário acontece o mesmo, ou seja :

$\fbox{\displaystyle f(g(x)) = x }$  

Sabendo disso, vamos fazer.

$\fbox{\displaystyle g(f(x)) + f(g(x)) \to x + x = ? }$

fazendo x=  6 :

$\fbox{\displaystyle g(f(6)) + f(g(6)) \to 6 + 6 = 12 }$

Letra b

Caso você não soubesse ou não lembrasse dessa propriedade, vc teria achar a inversa fazendo a conta.

como faz para achar a inversa ? Substitui x por y e y por x, depois isola o y.

Vamos achar a inversa da função :

$f(x) = 2x^2 +1$ é o mesmo que $y= 2x^2 +1$

Substituindo x por y e y por x :

$\fbox{\displaystyle y= 2x^2 +1 \to x = 2.y^2 + 1 }$

isolando y :

$\fbox{\displaystyle x = 2.y^2 + 1 \to 2y^2 = x-1 \to y^2 = \frac{x-1}{2} }$ ⇒

⇒ $\fbox{\displaystyle y = \sqrt{\frac{x-1}{2}} }$

Pronto, essa é a função inversa da f(x), ou seja :

$\fbox{\displaystyle g(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2}} }$

Vamos achar a $g(f(x))$ e a $f(g(x))$ e depois só substituir na soma.

sendo :

$f(x) = 2x^2 +1$ e ${\displaystyle g(x) = \sqrt{\frac{x-1}{2}} }$,

vamos fazer a $g(fx))$ :  

$\fbox{\displaystyle g(f(x)) = \sqrt{\frac{f(x)-1}{2}} }$ ⇒  $\fbox{\displaystyle g(f(x)) = \sqrt{\frac{(2x^2+1)-1}{2}} }$ ⇒

⇒ $\fbox{\displaystyle g(f(x)) = \sqrt{\frac{2x^2}{2}} \to g(f(x)) = \sqrt{x^2} \to g(f(x)) = x }$

Agora vamos fazer a $f(g(x))$. Usando a mesma ideia da anterior, ao fazer isso vc vai chegar em $f(g(x)) = x$. Vou deixar essa para você treinar.

Então temos que :

$\fbox{\displaystyle g(f(x)) + f(g(x)) = x + x }$

substituindo x = 6

$\fbox{\displaystyle g(f(6)) + f(g(6)) = 6 + 6 = 12 }$

Letra b

Answer 2

Resposta:

Letra B

Explicação passo-a-passo:

Confia