Question

Considere a função f. R-> R dada por

f(x) = ax^2 + 2ax + c

Em que a, c são números reais, com a não nulo

a) Para quais a e c a função f admite uma única raiz?
b) se a=c, encontre todos os x tais que f(x)=0

Answer 1

a) Uma função de segundo grau irá admitir uma única raiz quando o seu Δ for igual a 0

$\Delta = 0$

$b^{2} - 4ac = 0$

Substituindo os coeficientes da equação,
a = a
b = 2a
c = c

$(2a)^{2} - 4ac = 0$

$4a^{2} - 4ac = 0$

Tirando fator comum:

$4a(a - c) = 0$

Temos então que:

4a = 0

a = 0

ou

a - c = 0

a = c

Temos que os valores a = 0 e a = c fazem com que f tenham apenas uma raíz, no entanto, se a = 0, a função deixaria de existir já que:

$f(x) = 0x^{2} + 2(0)x + c$

$f(x) = c$

Portanto o único valor possível seria a = c.

b) Com a = c temos:

$ax^{2} + 2ax + a$

ou

$cx^{2} + 2cx + c$

Usando soma e produto podemos facilmente encontrar as raizes:

$\left \{ {{x + x'= \frac{-b}{a} } \atop {x.x' = \frac{c}{a} }} \right.$

$\left \{ {{x + x'= \frac{-2a}{a} } \atop {x.x' = \frac{a}{a} }} \right.$

$\left \{ {{x + x'=-2 } \atop {x.x' =1}} \right.$

Os único número que somado é -2 e multiplicado é 1 é -1

$\left \{ {{-1 + (-1)=-2 } \atop {-1(-1) =1}} \right.$

Temos que a raiz da equação é -1

S = {-1}