Question

Considere a função f: [_2.1,→2.1]→ |R representada graficamente a seguir:

(O GRÁFICO ESTÁ NA FOTO ABAIXO)

O dominio da função g(x)=$\frac{1}{ \sqrt{f(x)-2} }$ é:

a) [0,4]
b) [-2,2)
c) (-2,2)
d) [-2,-1) U (-1,2) U (2,2.1]
e) [2.1,-1) U (-1,2.1]

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Dani, que a resolução não é tão simples como, inicialmente, poderíamos pensar.

i) Dado o gráfico de f(x), que está anexado à questão, pede-se o domínio de g(x), que é dada por: g(x) = 1/[√(f(x)) - 2].
Para seu conhecimento, informamos que já havíamos dado a resposta e tentado enviá-la. Mas como a nossa resposta ficou muito extensa, ela não pôde ser encaminhada porque ultrapassou ao número máximo de caracteres permitidos. Então estamos resumindo a nossa resposta para podermos encaminhá-la sem problemas.

ii) Veja que o gráfico de f(x) (que está anexado) é o de uma função da forma: f(x) = ax³ + bx² + cx + d, e que tem como domínio o intervalo fechado de [-2,1; 2,1] e como contradomínio os Reais. Vê-se que no intervalo do domínio de f(x), existem os seguintes valores para "x" e para f(x):

Valores de x - valores de f(x)
........ (-2) .............. 0
..........(-1).............. 4
......... 0 ................ 2
..........1................. 0

Como f(x) = ax³ + bx² + cx + d, então já se vê que o termo d = 2 (que é quando "x" assume o valor "0"). E, após sabermos o valor de "d", formamos um sistema de três equações e três incógnitas, tendo-se chegado à conclusão de que: a = 1; b = 0; c = -3, pois para o termo "d" já sabíamos que era d = 2.
E, assim, chegamos que a função f(x) era esta:

f(x) = x³ - 3x + 2

Note que antes havíamos informado como chegar a cada um dos valores para cada termo. Mas isso fez com que a resposta ficasse muito extensa e, dessa forma, não se pôde enviá-la pelo fato de haver ultrapassado ao número máximo de caracteres.

iii) Agora vamos encontrar o domínio de g(x) = 1/[√(f(x)) - 2] ------ substituindo-se f(x) por sua representação, teremos que:

g(x) = 1/[√(x³-3x+2) - 2]

Veja que radicais de índice par só admitem radicandos que sejam maiores ou iguais a zero. Assim, deveremos impor que:

x³ - 3x + 2 ≥ 0

E, além disso, todo o denominador [√(x³-3x+2) - 2] deverá ser diferente de zero, pois não há divisão por zero. Assim, também deveremos impor que:

√(x³-3x+2) - 2 ≠ 0 ----- passando "-2" para o 2º membro, teremos:
√(x³-3x+2) ≠ 2

Note mais isto: f(x) = x³-3x+2, quando simplificamos em função de suas raízes, ficará sendo assim: x²-3x+2 = (x-1)²*(x+2) = (x-1)*(x-1)*(x+2). Note que temos aqui o produto de três funções do 1º grau, cujo resultado deverá ser maior ou igual a zero. Então vamos encontrar a variação de sinais em função das raízes de cada uma das equações. Assim, teremos:

a) x-1 .... - - - - - - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + + + + + + + + + +
b) x-1 .... - - - - - - - - - - - - - - - - (1) + + + + + + + + + + + + + + + + + +
c) x+2.... - - - - - - (-2) + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
d) a*b*c..- - - - - - (-2) + + + + + (1) + + + + + + + (○2) + + + + + + +  +

Como queremos que (x-1)*(x-1)*(x+2) seja maior ou igual a zero, então só nos vai interessar onde tiver sinal de mais no item "d", que nos fornece a variação de sinais da multiplicação dessas três funções. Mas veja que já vimos que "x" não poderá ser igual a "2", pois se "x" pudesse ser igual a "2", então a função do denominador iria zerar e não existe divisão por zero (por isso é que colocamos, no item "d" o "2" antecedido de uma bolinha branca, significando dizer que ele não entra no intervalo). Assim, os intervalos válidos serão estes:

-2 ≤ x < -1, ou:  -1 < x < 2, ou:  x > 2

Note: quando impomos a condição de existência de:

√(x³-3x+2) ≠ 2 ---- vamos ter isto: elevando ao quadrado os dois membros para eliminar o radical do 1º membro, iremos ficar com:

x³-3x + 2 ≠ 4 ---- colocando o "4" para o 1º membro, temos;
x³-3x+2-4 ≠ 0
x³-3x-2 ≠ 0 --- e quando encontramos as raízes desta equação do 3º grau,vemos que elas são: x' = x'' = -1  e x'' = 2
Assim, para encontrar os intervalos, teremos que levar em conta as duas raízes iguais a "-1". Por isso é que o intervalo foi o que demos aí em cima.
Apenas pra você ter uma ideia, vamos marcar o que vale para o item "d" acima com o símbolo /////////// e marcar o que vale para a outra condição de existência, que era x³-3x-3 ≠ 0 também com o símbolo //////////, a resposta será a intersecção entre o que vale para cada uma das condições de existência acima e a intersecção marcaremos com o símbolo |||||||||. Veja:

d) a*b*c ____________(-2)/ / / / / / / / / / / / / /  (1) / / / / / / / / / / / / /(○2)/ / / / / / / / /
e) √(x³-3x+2) ≠ 2 _____(-2)/ / / / /  (-1)/ / / / / / / / / / / / / / / / / / / / / /(○2)/ / / / / / / / / /
f) Intersecção ._______(-2)| | | | | | |(-1) | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | (○2) | | | | | | | |

Lembre-se que o domínio de f(x) vai só até "2,1" (veja que o intervalo do domínio de f(x) era este: [-2,1; 2,1], então deveremos restringir este domínio até esse limite. Logo, a resposta será:

-2 ≤ x < -1, ou:  -1 < x < 2, ou:  2 < x ≤ 2,1 <--- Esta é a resposta.

Veja que o intervalo acima também poderá ser expresso da seguinte forma, o que dá no mesmo:

[-2; -1) ∪ (-1; 2) ∪ (2; 2,1] <--- Esta é a resposta. Opção "d".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.