Question

Considere a função dada por $f(x) = \frac{3}{x-1}$ marque a única opção correta seguinte: a) A função f(x) é contínua para todo domínio em R. b) f(x) no ponto 1 existe e é igual a zero. c) Tanto o limite $\lim_{- \infty} f(x),$ quanto o limite$\lim_{+ \infty} f(x)$ corresponde a zero. d) f(x) no ponto 1 existe e é igual a 3. e) O limite $\lim_{x \to0 \ } f(x)$ não existe.

Answer 1

Temos a seguinte função: $f(x) = \frac{3}{x-1}$

❑ A partir dessa função a questão nos indaga algumas questões.

• a) A função f(x) é contínua para todo domínio em R.

❑ Essa informação está errada, para comprovar essa afirmação, devemos lembrar que quando temos uma fração precisamos fazer alguma restrição para encontrar o domínio de uma função, tal restrição é dizer que o denominador deve ser diferente de "0", pois divisão por "0" não é definida, logo não é contínua em tal ponto.

$\frac{3}{x - 1} \longrightarrow x - 1 \neq 0 \Longleftrightarrow x \neq 1 \\ \\ D = \{x \in \mathbb{R}/x\neq 1\}$

• b) f(x) no ponto 1 existe e é igual a zero.

❑ Para verificar essa afirmação devemos substituir no local de "x" o valor informado pela questão, que é "1":

$f(x) = \frac{3}{x - 1} \Longleftrightarrow f(1) = \frac{3}{1 - 1} \Longleftrightarrow f(1) = \frac{0}{0} \\ \\ \text{indefinido}$

• c) Tanto o limite $\lim_{x\rightarrow- \infty} f(x)$ quanto o limite$\lim_{x\rightarrow+ \infty} f(x)$ corresponde a zero.

❑ Vamos verificar essa tal afirmação:

$\lim_{x \rightarrow- \infty} f(x) = 0\\ \lim_{x \rightarrow+ \infty} f(x) = 0 \\ \\ \Longrightarrow\lim_{x \rightarrow- \infty} \frac{3}{x - 1} \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow- \infty} \frac{ \frac{3}{x} }{ \frac{x}{x} - \frac{1}{x} } \Longleftrightarrow \\ \Longrightarrow \lim_{x \rightarrow- \infty} \frac{ \cancel{\frac{3}{ - \infty } }}{1 - \cancel{ \frac{1}{ - \infty } }} \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow- \infty} \frac{0}{1} = 0 \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Longrightarrow\lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{3}{x - 1} \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \frac{3}{x} }{ \frac{x}{x} - \frac{1}{x} } \Longleftrightarrow \\ \Longrightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{ \cancel{\frac{3}{ + \infty } }}{1 - \cancel{ \frac{1}{ + \infty } }} \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow + \infty} \frac{0}{1} = 0 \: \: \: \: \: \: \:$

• d) f(x) no ponto 1 existe e é igual a 3.

❑ Essa afirmação contradiz a alternativa b) que também não está certa, logo o item d) está incorreto.

• e) O limite $\lim_{x \to0 \ } f(x)$ não existe.

❑ Vamos calcular para ver se essa afirmação é verdadeira ou não:

$\lim_{x \rightarrow0} \frac{3}{x - 1} \Longleftrightarrow \lim_{x \rightarrow0} \frac{3}{ 0- 1} = - 3$

Essa afirmação está errada.

Espero ter ajudado