Question

Considere a figura a seguir, onde HB= 5 raiz de 3

Answer 1

Primeiro precisamos encontrar os ângulos do nosso triângulo retângulo. Observe que se HAB é um ângulo de 30 graus, ABH mede 60 graus, já que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180 graus.

90+ 30 + ABH = 180

ABH = 60

Os ângulos ABH e ABC juntos formam um ângulo raso, ou seja, de 180 graus. Assim, a medida de ABC é 120 graus. E por fim, encontramos então que α mede 15 graus, pois a soma dos angulos internos de um triângulo e 180 graus.

45 + 120 + α = 180

α = 15

Descobrimos então que o triângulo AHC é isósceles pois HAC e HCA medem 45 graus. Assim podemos descobrir a medida do lado BC:

HC = 15

HC = HB + BC

BC = HC - HB

BC= 15 - 5√3

Por fim, para encontrar o valor do seno de α podemos utilizar a lei dos senos.

$\dfrac{15- 5\sqrt3}{sen \ \alpha} = \dfrac{10\sqrt3}{sen \ 45}$

$\dfrac{15- 5\sqrt3}{sen \ \alpha} = \dfrac{10\sqrt3}{\dfrac{\sqrt2}{2}}\\\\\\sen \ \alpha = \dfrac{15\sqrt2-5\sqrt6}{20\sqrt3}\\\\\sen \ \alpha =\dfrac{3\sqrt2-\sqrt6}{4\sqrt3} \\\\\\sen \ \alpha = \dfrac{12\sqrt6-4\sqrt18}{16}\\\\sen \ \alpha = \dfrac{3\sqrt6 - 3\sqrt2}{4}\\\\\\sen \ \alpha = \dfrac{\sqrt6 - \sqrt2}{4}$

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