Question

considere a equação diferencial y" + 2y' + 3y =0
Encontre a solução em y(x) de c₁ e c₂
alternativas:
a) y(x) = c₁e²ˣ + c₂e⁻²ˣ
b) y(x) = c₁e¹'⁴ + c₂e¹'⁴ˣ
c) y(x) = c₁ + c₂e²ˣ
d) y(x) = c₁sen (1,4x) + c₂cos (1,4x).
e) y(x) = e⁻ˣ [c₁sen (1,4)x + c₂cos (1,4x)₎]

Answer 1

Resposta:

y''+2y'+3y=0

É uma equação diferencial homogênea linear

de segunda ordem, com coeficientes constantes.

Uma EDO homogêa, linear de segunda ordem possui

a seguinte forma: ay''+by'+cy=0

Reescrever a equação com y =e^(kt)

(e^(kt))''+2(e^(kt))'+3*e^(kt)=0

k²*e^(kt)+2k*e^(kt) + 3e^(kt)=0

Fatorar:

e^(kt) *(k²+2k+3)=0

e^(kt) ..nunca vai ser = 0

mas  ==> k²+2k+3=0

k' =-1+i√2  

k''=-1-i√2  

Para duas raízes complexas k' ≠ k'',

onde k'= α+iβ  e k''=α-iβ a solução geral toma a forma:  

*******       y =e^(αt)*(c₁*sen(βt)+c₂*cos(βt))

k' =-1+i√2 =α+iβ

k''=-1-i√2 =α-iβ

y=(e^(-t))*(c₁*sen(√2t)+c₂*cos(√2t))  é a resposta

sendo que √2 ≈  1,414213562.... ≈ 1,4

y(t)=(e^(-t))*(c₁*sen(1,4t)+c₂*cos(1,4t))  

Fazendo t=x

y(x)=(e^(-x))*(c₁*sen(1,4x)+c₂*cos(1,4x))  é a resposta

Letra E