Question

Considere a equação diferencial (d^2 y)/(dx^2 )-cy=0 onde c é uma constante. Descreva como o comportamento das soluções dessa equação muda à medida que c varia.​

Answer 1

Analsiando as soluções desta EDO, temos que os comportamentos de soluçẽos variam de acordo com:

C > 0 : Função exponencial.

C = 0 : Função constante.

C < 0 : Função periodica.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte EDO:

$\frac{d^2x}{d x^2}-Cy=0$

Para facilitarmos vamos passar Cy para a direita:

$\frac{d^2x}{d x^2}=Cy$

Agora vemos o que esta EDO significa: Uma função y, tal que, derivada duas vezes é igual a ela mesma com uma constante na frente, ou seja, esta é uma função exponencial da forma:

$y = A.e^{-\sqrt{C}.x}+B.e^{\sqrt{C}.x}$

Onde A e B são constantes quaisquer, uma vez que elas não se alteram ao serem derivadas, e no caso C esta dentro de uma raíz, pois ao derivarmos duas vezes esta função esta raíz vai cair duas vezes e quando ela ficar ao quadrado fica somente C, igual a EDO inicial.

Assim temos que a nossa solução geral é desta forma acima. Agora vamos analisar para cada caso da equação:

C > 0:

$y = A.e^{-\sqrt{C}.x}+B.e^{\sqrt{C}.x}$

Neste caso esta é simplesmente uma combinaçãode funções exponenciais, onde ela "explode" ou em um infinito ou em outro.

C = 0:

$y = A.e^{0.x}+B.e^{0.x}$

$y = A+B$

Neste caso y seria somente uma função constante, que também obedeceria a EDO de forma correta, pois essa ficaria:

$\frac{d^2x}{d x^2}=Cy$

$\frac{d^2x}{d x^2}=0y$

$\frac{d^2x}{d x^2}0$

C < 0:

Neste caso vamos substituir C por um outra constante qualquer -K (K sendo positivo), ficando desta forma:

$C=-K$

$y = A.e^{-\sqrt{C}.x}+B.e^{\sqrt{C}.x}$

$y = A.e^{-\sqrt{-K}.x}+B.e^{\sqrt{-K}.x}$

$y = A.e^{-i\sqrt{K}.x}+B.e^{i\sqrt{K}.x}$

Assim temos que esta solução é uma combinações de exponenciais complexas, que sabemos que são funções periodicas trigonometricas, ou seja, esta função tem padrões que se repetem por todo o infinito segundo senos e cossenos.