Question

Considere a equação diferencial

2y′′−2y′+5y=0,

onde y=y(x).

Determine a solução que satisfaz as condições

y′(0)=1 e y(0)=−3.

Answer 1

Resposta:

$\sf 2y''-2y'+5y=0$

Mais uma vez temos uma edo de 2ª ordem homogênea. Supondo que y = $\sf e^{\lambda x}$, temos:

$\sf 2(e^{\lambda x})''-2(e^{\lambda x})'+5(e^{\lambda x})=0$

$\vdots$

$\sf (2\lambda^2-2\lambda+5)\cdot e^{\lambda x}=0$

$\sf 2\lambda^2-2\lambda+5=0, e^{\lambda x}\neq0$

Resolvendo essa equação, encontra-se:

$\sf \lambda=\dfrac{-\,b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

$\sf \lambda=\dfrac{-\,(-2)\pm\sqrt{(-2)^2-4(2)(5)}}{2(2)}\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pm\sqrt{4-40}}{4}$

$\sf\lambda=\dfrac{2\pm\sqrt{4-40}}{4}\Rightarrow \lambda=\dfrac{2\pm\sqrt{-\,36}}{4}$

Dado que o delta é negativo, a solução geral tem a forma:

$\sf y(x)=e^{ax}[c_1\cdot cos(bx)+c_2\cdot sen(bx)]$

Então é necessário encontrar as raízes complexas:

$\sf\lambda=\dfrac{2\pm\sqrt{-\,1\cdot36}}{4}\Rightarrow\lambda=\dfrac{2\pm\sqrt{-\,1}\cdot\sqrt{36}}{4}$

$\sf\lambda=\dfrac{2\pm i\cdot 6}{4}\Rightarrow\lambda=\dfrac{1\pm3i}{2}\Rightarrow\lambda=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{3}{2}i$

Nesse caso, temos a = 1/2 (parte real) e b = 3/2 (parte imaginária). Assim temos a sol. geral:

$\sf y(x)=e^{\frac{1}{2}x}[c_1\cdot cos(\frac{3}{2}x)+c_2\cdot sen(\frac{3}{2}x)]$

Que sendo derivada, obtemos:

$\sf y'(x)=\frac{d}{dx}\big\{e^{\frac{1}{2}x}[c_1\cdot cos(\frac{3}{2}x)+c_2\cdot sen(\frac{3}{2}x)]\big\}$

$\sf y'(x)=\frac{1}{2}\big\{e^{\frac{1}{2}x}[c_1\cdot cos(\frac{3}{2}x)+c_2\cdot sen(\frac{3}{2}x)]+e^{\frac{1}{2}x}[-\,\frac{3}{2}c_1sen(\frac{3}{2}x)+\frac{3}{2}c_2cos(\frac{3}{2}x)]\big\}$

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Agora vamos para as condições impostas.

Se y(0) = - 3, então:

$\sf y(0)=e^{\frac{1}{2}\cdot0}[c_1\cdot cos(\frac{3}{2}\cdot0)+c_2\cdot sen(\frac{3}{2}\cdot0)]=-\,3$

$\sf e^0[c_1\cdot cos(0)+c_2\cdot sen(0)]=-\,3$

$\sf 1[c_1\cdot 1+c_2\cdot 0]=-\,3$

$\sf c_1+0=-\,3$

$\underline{\sf c_1=-\,3}$

E se y'(0) = 1, então:

$\sf y'(0)=\frac{1}{2}\big\{e^{\frac{1}{2}\cdot0}[c_1\cdot cos(\frac{3}{2}\cdot0)+c_2\cdot sen(\frac{3}{2}\cdot0)]+e^{\frac{1}{2}\cdot0}[-\,\frac{3}{2}c_1\cdot sen(\frac{3}{2}\cdot0)+\frac{3}{2}c_2\cdot cos(\frac{3}{2}\cdot0)]\big\}=1$

$\sf e^0[c_1\cdot cos(0)+c_2\cdot sen(0)]+e^0[-\,3c_1\cdot sen(0)+3c_2\cdot cos(0)]=2$

$\sf 1[c_1\cdot 1+c_2\cdot 0]+1[-\,3c_1\cdot 0+3c_2\cdot 1]=2$

$\sf [c_1+0]+0+3c_2=2$

$\sf 3c_2=2-c_1$

$\sf c_2=\frac{2-c_1}{3}$

Substituindo o valor de c₁:

$\sf c_2=\frac{2-(-3)}{3}$

$\sf c_2=\frac{2+3}{3}$

$\underline{\sf c_2=\frac{5}{3}}$

Portanto, temos a solução particular que satisfaz as condições dadas:

$\red{\boxed{\sf y(x)=e^{\frac{1}{2}x}\bigg[\!\!-3\cdot cos\bigg(\dfrac{3}{2}x\bigg)+\dfrac{5}{3}\cdot sen\bigg(\dfrac{3}{2}x\bigg)\bigg]}}$