Question

Considere a equação de segundo grau 3x² - 2x - k = 0. Sabendo que a diferença
entre suas raízes é igual a 10/3, calcule o valor de k. (Por favor, mostre os cálculos.)

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

Olá @AraújoFranca

Dada a seguinte equação parametrica:

$~~~~~\boxed{ 3x^2-2x-k ~=~0 }$

● Queremos o valor de "k" , sabendo que a diferença entre as raízes é igual a $\dfrac{10}{3}$ .

● RESOLUÇÃO :

$\iff ~ x^2-\dfrac{2}{3}x - \dfrac{1}{3}k~=~0$

$\iff ~ \left( x - \dfrac{2}{6}\right)^2~=~\dfrac{4}{36}+\dfrac{1}{3}k$

$\iff ~ \left( x - \dfrac{2}{6}\right)^2~=~\dfrac{4+12k}{36}$

$\iff ~ x - \dfrac{2}{6}~=~ \pm\sqrt{\dfrac{4+12k}{36}}~=~\pm\sqrt{\dfrac{4\left(1+3k\right)}{36}}$

$\iff ~ x~=~\pm\dfrac{2\sqrt{1+3k}}{6}+\dfrac{2}{6}$

$\begin{cases} x'~=~\dfrac{2-2\sqrt{1+3k}}{6} \\ \\ x''~=~\dfrac{2\sqrt{1+3k}+2}{6} \end{cases} \Longrightarrow~ \begin{cases}~x'~=~\dfrac{1-\sqrt{1+3k}}{3} \\ \\ x''~=~\dfrac{\sqrt{1+3k}+1}{3} \end{cases}$

● Queremos "k" , quando $~x''-x'~=~\dfrac{10}{3}$

$\iff ~ \dfrac{\sqrt{1+3k}+1}{3}-\dfrac{1-\sqrt{1+3k}}{3}~=~\dfrac{10}{3}$

$\iff ~ \dfrac{1+\sqrt{1+3k}+\sqrt{1+3k}-1}{3}~=~\dfrac{10}{3}$

$\iff 2\sqrt{1+3k}~=~10$

● Vamos elevar ambos membros ao quadrado :

$\iff 4\left(1+3k\right)~=~100$

$\iff~1+3k~=~\dfrac{100}{4}~=~25$

$\iff~ 3k~=~24$

$\iff~ k~=~8$

$\pink{ \iff \boxed{\boxed{ sol:\left\{~8~\right\} ~~\checkmark } } }$

ESPERO TER AJUDADO BASTANTE!)