Question

Considere a equação 9y4−4y2 . Qual é a equação do segundo grau que repesenta se trocarmos y2 por k . 9k2+4k

Answer 1

Vamos lá.

Veja,Zulene, que a resolução é simples.
Pedem-se as raízes da seguinte equação biquadrada:

9y⁴ - 4y² = 0 ---- note que y⁴ é a mesma coisa que (y²)². Assim, ficaremos com:
9*(y²)² - 4y² = 0 ---- vamos fazer y² = k. Com isso ficaremos assim:
9*(k)² - 4k = 0 --- ou apenas:
9k² - 4k = 0 <---- Esta é a equação do 2º grau que ficou quando trocamos "y²"
por "k".

Agora, para encontrar as raízes, vamos pôr "k" em evidência, com o que ficaremos assim:

k*(9k - 4) = 0 --- Veja que aqui temos dois fatores cujo produto é nulo. Quando isso ocorre um dos fatores será nulo. Então temos as seguintes possibilidades:

ou
k = 0 ---> k' = 0

ou
9k - 4 = 0 ---> 9k = 4 ---> k'' = 4/9

Mas veja que fizemos y² = k. Então:

i) Para k = 0, teremos:

y² = 0
y = ± √(0) ---- como √(0) = 0, teremos:
y = ± 0 -------- como ± 0 é sempre igual a "0", então:
y' = 0 <--- Esta é uma das raízes da equação. Ou seja, a equação terá duas raízes iguais a zero.

ii) Para k = 4/9, teremos:

y² = 4/9
y = ± √(4/9) ----- como √(4/9) = 2/3, teremos:
y = ± 2/3 ---- ou seja, teremos que:

y'' = -2/3
y''' = 2/3

As duas raízes acima são as outras raízes da equação da sua questão.

iii) Assim, resumindo, temos que as três raízes da equação biquadrada da sua questão serão estas (colocando as raízes em ordem crescente):

y' = -2/3; y'' = 0; e y''' = 2/3 <---Esta é a resposta.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução {y'; y''; y'''} da seguinte forma (colocando novamente as raízes em ordem crescente):

S = {-2/3; 0; 2/3}.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.