Question

Considere a circunferência λ, de centro O e o raio R e uma reta tangente a λ no ponto A. Traçando-se o diâmetro PQ oblíquo a reta t, a projeção PQ sobre t será o segmento MN. Sabendo-se que a razão entre ON e o raio R é raiz7/2 o ângulo entre PQ e MN é igual a:

Answer 1

O ângulo entre PQ e MN é igual a: 30°.

Explicação:

Observe a figura que segue em anexo.

ON = √7

R        2

Então,

ON = R√7

           2

Pelo Teorema de Pitágoras, no triângulo AON, temos:

ON² = AO² + AN²

(R√7/2)² = R² + AN²

7R²/4 = R² + AN²

7R² = 4R² + 4AN²

3R² = 4AN²

AN² = 3R²

           4

AN = R√3

          2

Agora, traçamos um segmento de reta paralelo ao diâmetro PQ, que intercepta t em um ponto das projeções ortogonais.

Assim, formamos o triângulo retângulo PMN.

Utilizando o cosseno do ângulo α, temos:

cos α = 2AN

              2R

             2·R√3

cos α =     2    

                2R

cos α = R√3

              2R

cos α = √3

              2

O ângulo cujo cosseno é √3/2 é 30°.

Logo, α = 30°.