Question

Considere a base ortonormal β = {i,j,k} e os vetores v = i + j + k e w = i - j + 2k.
(a) Encontre vetores unitários e paralelos a v.
(b) Encontre vetores unitários e paralelos a w.
(c) Calcule |t|, onde t = av + bw, a,b ∈ R.
(d) {v,w} é LI ou LD? Justifique.

Answer 1

Como i, j e k são ortogonais e unitários (conceito de base ortonormal), é possível utilizá-las como componentes de vetores pertencentes a R³.

a)
v = i + j + k
Se existem vetores unitários paralelos a v, tem de ser da forma,
xi + xj + xk,
Tal que $\displaystyle\sqrt{x^{2}+x^{2}+x^{2}}=1$
Logo,
$\displaystyle\sqrt{3x^{2}}=1$
3x² = ±1
x = $\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$
Logo os vetores paralelos a v são:
$\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{3}$(i + j + k) e $\displaystyle -\frac{\sqrt{3}}{3}$(i + j + k)

b)
w= i - j + 2k
Se existem vetores unitários paralelos a w, tem de ser da forma,
zi - zj + 2zk,
Tal que $\displaystyle\sqrt{z^{2}+z^{2}+4z^{2}}=1$
Logo,
$\displaystyle\sqrt{6z^{2}}=1$
6z² = ±1
z = $\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}$
Logo os vetores paralelos a w são:
$\displaystyle\frac{\sqrt{6}}{6}$(i - j + 2k) e $\displaystyle -\frac{\sqrt{6}}{6}$(i - j + 2k)

c)
t = a(i + j + k) + b(i - j + 2k)
t = (a+b)i + (a-b)j + (a+2b)k
|t| = $\displaystyle\sqrt{(a+b)^{2}+(a-b)^{2}+(a+2b)^{2}}$
|t| = $\displaystyle\sqrt{(3a^{2}+4ab+6b^{2}}$

d)
Dividindo-se as "componentes" de v pelas de w, obtém-se
$\displaystyle\frac{i}{i}$ = 1
$\displaystyle\frac{j}{-j}$ = - 1
$\displaystyle\frac{k}{2k}$ = $\displaystyle\frac{1}{2}$
Todas as razões são diferentes
Conclusão: Não há escalar que multiplicado a v resulte em w.
Portanto {v,w} é Linearmente Independente (LI)