Question

Considerando X~N(50,16) e Y~N(100,25), qual o evento mais provável:
sortear um valor de X menor que 48 ou um valor de Y maior que 102?

Answer 1

Tratando-se de uma distribuição normal, deve-se fazer a parametrização da variável X para Z. $Z = (X-m)/dp$
Somente então, poderemos consultar os valores da tabela de distribuição normal. Ou seja:

1) X~N(50,16), onde 50 é a média e 4 (raíz de 16, variância) é o desvio padrão.
Então: $P(X\ \textless \ 48)$ ⇒ $P((X-50)/4 \ \textless \ (48-50)/4)$ ⇒ $P(Z \ \textless \ -0,5)$. Sendo assim, determina-se a área entre (-∞, -0,5] que é dado por $0,1915.$

2) Y~N(100,25), onde 100 é a média e 5 (raíz de 25, variância) é o desvio padrão.
Repete-se a parametrização com os novos valores e $P(Z\ \textgreater \ 0,4)$. Que pode ser calculada por área de [0, +∞) - [0, 0,4] ⇒ 0,5 - 0,1554 = $0,3446.$

Logo, $P(Y\ \textgreater \ 102)$ é mais provável.  

Answer 2

O evento sortear um valor de Y maior que 102 é mais provável.

Temos uma distribuição normal de probabilidade em ambos os eventos, então, para sortear um valor de X menor que 48, precisamos calcular P(X < 48), mas antes precisamos do valor de Z da distribuição normal padronizada:

Z = (X - μ)/σ

Z = (48 - 50)/4

Z = -0,5

Na tabela padronizada, temos:

P(X < 48) = P(Z = -0,5) = 0,3085

Calculando para Y:

Z = (102 - 100)/5

Z = 0,4

P(Y > 102) = 1 - P(Z = 0,4) = 1 - 0,6554 = 0,3446

Logo, o evento Y é mais provável.

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