Question

Considerando-se a equação x² − 5x + 6 = I x − 3 I, tem-se que a soma de suas raízes é
01) 0
02) 1
03) 2
04) 3
05) 4

Answer 1

|x - 3| = x - 3, se x - 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ 3
|x - 3| = -x + 3, se x - 3 < 0 ⇒ x < 3

1) se x ≥ 3, temos:
 x² - 5x + 6 = x - 3
x² - 6x + 9 = 0
Δ = (-6)² - 4.1.6
Δ = 36 - 36
Δ = 0
x = (6 ⁺₋ 0)/2 = 3 ( o 3 serve)

2) Se x < 3
x² - 5x + 6 = -x + 3
x² - 4x + 3 = 0
Δ = (-4)² - 4.1.3
Δ = 16 - 12
Δ = 4
x = (4 -  2)/2 = 1 ( o 1 serve)  ou
x = (4 + 2)/2 = 3 ( o 3 não serve)

Mas como 3 ∈ a uma das soluçõs e em união de conjuntos x ∈ A ou x ∈ B, logo o 3 é solução.

S = 1 + 3 = 4

Alternativa 05

Answer 2

Vamos lá.

Como você nos pediu por e-mail pra dar mais explicações na resolução desta questão, então vamos ver.
Tem-se que:

x² - 5x + 6 = |x - 3|

Antes de iniciar, vamos para as condições de existência de funções modulares.

i) Para (x-3) ≥ 0, teremos, passando o "3" para o outro lado: x ≥ 3. Assim, para (x-3) ≥ 0, iremos na expressão original e colocaremos "x-3" no lugar do módulo, pois sendo (x-3) positivo ou igual a zero, o que está dentro do módulo fica sem qualquer alteração,  ficando da seguinte forma:

x² - 5x + 6 = x - 3 ----- passando "x-3" para o 1º membro, teremos:
x² - 5x + 6 - x + 3 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 6x + 9 = 0 ---- se você aplicar Bháskara, iremos encontrar as seguintes raízes:

x' = x'' = 3 <--- Como para (x-3) ≥ 0, tínhamos que "x" deveria ser maior ou igual a "3", então a raiz que encontramos (x' = x'' = 3) é válida.

ii) Para (x-3) < 0 teremos, passando o "3" para o outro lado: x < 3. Assim, para (x-3)< 0, iremos na expressão original e colocaremos "-(x-3)" no lugar do módulo, pois o que estava dentro do módulo sendo negativo teremos que expressá-lo como "-(x-3)",  ficando da seguinte forma:

x² - 5x + 6 = -(x - 3) ----- retirando-se os parênteses do 2º membro, temos:
x² - 5x + 6 = - x + 3 ---- passando-se "-x+3" para o 1º membro, teremos:
x² - 5x + 6 + x - 3 = 0 ---- reduzindo os termos semelhantes, teremos:
x² - 4x + 3 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontraremos as seguintes raízes:

x' = 1
x''' = 3

Veja que, para (x-3) < 0, vimos que "x" deverá ser menor do que "3". Então ela não poderá ser "3", pelo que descartaremos a raiz igual a "3" e ficaremos apenas com a raiz igual a "1", pois atende a condição de ser menor do que "3".

iii) Logo, nas duas condições de existência, as raízes válidas foram:

x = 3 (na primeira condição de existência) e x = 1 (na segunda condição de existência).
Assim, a soma das raízes será:

3 + 1 = 4 <--- Esta é a resposta. Opção "05".

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.