Question

considerando que senx+cosx= k, calcule em função de k o valor de P= sen4 x + cos4 x

Answer 1

####cos²x+sen²x=1

[cos²x+sen²x]²=1

cos⁴x+2cos²x*sen²x+sen⁴x=1

cos⁴x+sen⁴x+2cos²x*sen²x=1

P+2cos²x*sen²x=1

P=1-2cos²x*sen²x  (i)

####senx+cosx=k

(senx+cosx)²=k²

sen²x+2*cosx*senx+cos²x=k²

sen²x+cos²x +2*cosx*senx=k²

1+2*cosx*senx=k²

2cosx*senx=k²-1   ==>cosx*senx=(k²-1)/2  (ii)

(ii) em (i) temos:

P=1-2cos²x*sen²x

P=1-2 * (cosx*senx)²

P=1-2 * ((k²-1)/2 )²

P=1-2 * ((k²-1)²/4 )

P=1- (k²-1)²/2 

P=1 - (k⁴-2k²+1)/2

P=1 - k⁴/2+k²-1/2

P=1/2 -k⁴+k²/2

P= -k⁴+k²/2+1/2       para  (-2< k  <2)