Question

Considerando que a Terra e a Lua sejam perfeitamente esféricas e homogêneas, julgue o próximo item.

Se dois planetas têm a mesma densidade e diâmetros diferentes, a velocidade de escape é maior no planeta de maior diâmetro.

Answer 1

Fórmula da velocidade de escape Ve = (2GM/R)^1/2

Se ambos os planetas tem a mesma densidade com diametros diferentes, vamos chamar os seguintes dados:

Planeta Maior:

M - massa

R - Raio

d - densidade

V - volume

Planeta menor:

m - massa

r - raio

d - densidade

v - volume

Para o Planeta Maior:

Ve = (2GM/R)^1/2

temos que d = M/V então M = dV

portanto Ve = (GdV/R)^1/2

Também temos que Volume da esfera é V = 4/3 Pi R^3

então substituindo  em V temos Ve = (Gd (4/3 Pi R^3) /R)^1/2

Corta um R de cima com outro de baixo: Ve = (Gd (4/3 Pi R^2))^1/2. Guarde esta fórmula para o planeta maior.

Agora o planeta menor segue-se o mesmo raciocínio.

Ve = (2Gm/r)^1/2

temos que d = m/v então M = dv

portanto Ve = (Gdv/r)^1/2

Também temos que Volume da esfera é V = 4/3 Pi r^3

então substituindo  em V temos Ve = (Gd (4/3 Pi r^3) /r)^1/2

Corta um R com outro: Ve = (Gd (4/3 Pi r^2))^1/2. Guarde esta fórmula para o planeta menor.

Comparando as duas fórmulas:

Ve = (Gd (4/3 Pi r^2))^1/2

Ve = (Gd (4/3 Pi R^2))^1/2

O único parametro que difere ambas é o raio. Como no planeta maior o raio é R > r (planeta menor) então de fato o valor final da velocidade de escape do planeta maior será maior.

Logo, nosso item está correto. É isso, espero ter ajudado!!