Question

Considerando os vetores u = (8,-1,7), v = (-3,1,5) e w = (34,2,106), o vetor w pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores u e v? Caso sim, determine os escalares a e b que quando multiplicados por u e v geram w.

Answer 1

Se $\vec{w}$ for combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$, existem dois escalares $a$ e $b$ tais que $\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}$. Logo:

$\vec{w}=a\vec{u}+b\vec{v}\ \to\ (34,2,106)=a(8,-1,7)+b(-3,1,5)\ \to\\\\ (34,2,106)=(8a-3b,-a+b,7a+5b)$

Dessa forma, é possível construir um sistema linear com três equações e duas incógnitas:

$\left\{\begin{array}{ccc}8a-3b=34\\-a+b=2\\7a+5b=106\end{array}\right$

$-a+b=2\ \to\ b=a+2$

$7a+5b=106\ \to\ 7a+5(a+2)=106\ \to\\\\ 7a+5a+10=106\ \to\ 12a=96\ \therefore\ \boxed{a=8}$

$b=a+2\ \to\ b=8+2\ \therefore\ \boxed{b=10}$

Testando para todas as equações, percebemos que $a$ e $b$ satisfazem o sistema. Logo, $\vec{w}$ é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ quando multiplicados pelos escalares $a=8$ e $b=10$, respectivamente.