Question

considerando os números reais a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica e satisfazem a igualdades log2 a+ 1/log2+ 2 log4 c= 9 determine o valor de b​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

Se a, b e c formam, nessa ordem, uma progressão geométrica, então $\frac{b}{a} =\frac{c}{b}.$ Ou seja, $b^2=ac$

Olhando agora para a expressão $log_{2} (a)+\frac{1}{log(2)} +2 log_{4} (c)=9$, vamos fazer o seguinte:

1) Mudança de base: $\frac{1}{log(2)} =log_{2}(10)$

2) Propriedades dos logaritmos: $2 log_{4} (c)=2 log_{2^2} (c)=\frac{2}{2} log_{2} (c)=log_{2} (c)$

Com isso, vamos reescrever a expressão logarítmica assim:

$log_{2} (a)+log_{2}(10) + log_{2} (c)=9$

Agora que todos os logaritmos têm a mesma base (esse é o segredo!), podemos reduzi-los a um único logaritmo, usando a propriedade do logaritmo do produto: $log_{2}(10ac)=9$. Aplicamos agora a definição de logaritmo para obter: $2^9=10ac$. Mas, lembre-se que deduzimos no início que $b^2=ac$. Então podemos escrever: $2^9=10b^2$. Finalmente, teremos:

$2^9=10b^2\\512=10b^2\\b^2=\frac{512}{10} \\b_1=+ \sqrt{\frac{512}{10}}=+ \sqrt{\frac{256}{5}}=+\frac{16}{\sqrt{5}}=+\frac{16\sqrt{5} }{5} \\b_2= -\sqrt{\frac{512}{10}} =-\frac{16\sqrt{5} }{5}$