Question

Considerando os conteúdos do livro-base Álgebra Linear, sobre base de espaço vetorial e os vetores: u = (1, -1, -2), v = (2, 1, 1) e w = (k, 0, 3)
Considere o vetor w, k = 2 e determine as coordenadas do vetor t = (1, 2, 3) em relação aos vetores u, v e w.

Answer 1

A coordenada do vetor t em relação aos vetores u, v e w é:  

$t_S= (\frac{-11}{3},\frac{-5}{3},4)$

Perceba que os vetores: u, v e w: u = (1, -1, -2), v = (2, 1, 1) e w = (k, 0, 3), são linearmente independentes (L.I.), pois a única solução da equação abaixo é a trivial.

a.(1, -1, -2) + b.(2, 1, 1) + c.(2, 0, 3) = (0,0,0) ⇒ a = b = c = 0

Como o conjunto: S = {u,v,w} possui dimensão 3, então S é base de IR³, pois S é formado por vetores linearmente independentes que geram IR³.

[S] = IR³

Isso significa que podemos escrever qualquer vetor de IR³ sob a base S. Para saber como ficam as coordenadas do vetor t = (1,2,3) na base S, igualaremos a combinação linear dos vetores de S ao vetor t.

a.(1, -1, -2) + b.(2, 1, 1) + c.(2, 0, 3) = (1,2,3)

(a+2b+2c, -a+b, -2a+b+3c) = (1,2,3)

a + 2b + 2c = 1

-a  + b          = 2

-2a +b + 3c  = 3

Resolvendo o sistema, encontramos:

a = -11/3

b = -5/3

c = 4

Dessa maneira, a representação das coordenadas do vetor t, na base S, é:

$t_S= (\frac{-11}{3},\frac{-5}{3},4)$