Question

Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Geometria Analítica em espaços de duas e três dimensões sobre distância entre pontos, o valor de x para que o triângulo ABC, com vértices nos pontos A(1, 1), B(4, 5) e C(x, 4), seja retângulo em A, é:
A 3
B 24
C 12
D -3
E 0

Answer 1

O valor de x para que o triângulo ABC seja retângulo em A é:

Alternativa D -3

Encontrando o valor de x:

Temos pelo enunciado que o triangulo ABC é um triangulo retâncuglo em A (tem um angulo de 90° entre os catetos), assim inicialmente utilizaremos a fórmula da distância entre dois pontos para determinarmos a medidas dos lados do nosso triângulo:

Lembrando que a fórmula da distância entre dois pontos é dado por:$D_{P_{1}P_{2}} = \sqrt{ (x_{1}-x_{2})^2 + (y_{1} -y_{2})^2 }$.

$D_{AB} = \sqrt{ (1-4)^2 + (1 -5)^2 }=5$

$D_{AC} = \sqrt{ (1-x)^2 + (1 -4)^2 }=\sqrt{ (1-x)^2 + (-3)^2 }= \sqrt{ (1-x)^2 + 9 }$

$D_{BC} = \sqrt{ (4-x)^2 + (5-4)^2 } = \sqrt{ (4-x)^2 + (1)^2 } = \sqrt{ (4-x)^2 + 1 }$

Agora, com medidas de cada lado do nosso triângulo utilizaremos a fórmula do Teorema de Pitágoras para determinarmos finalmente o valor do nosso x. Lemrnado que a hipotenusa é a aresta oposta ao angulo de 90°, que está no ponto A, então a hipotenusa é o lado BC.

Lembrando que a fórmula do Teorema de Pitágoras é dado por: (Hipotenusa)² = (cateto)² + (cateto)².

$(BC)^2 = (AB)^2 + (AC)^2$

$( \sqrt{(4-x)^2+1} \ )^2 = (5)^2 + ( \sqrt{(1-x)^2+9} \ )^2$

Cancelando as potências com as reizes:

$(4-x)^2+1 = 25 + (1-x)^2+9$

Desenvolvendo os quadrados perfeitos, onde (a+b)² = a² + 2*a*b + b², teremos:

$16+(2*4*-x)+x^2+1 = 25 + 1 + (2*1*-x)+x^2 +9$

$16 -8x + x^2 + 1 = 25 + 1 -2x + x^2 +9$

$-6x=18$

$6x=-18$

$x = \frac{-18}{6}$

$x=-3$

Portanto, o valor de x para que o triângulo ABC seja retângulo em A é:

Alternativa D -3

Entenda mais sobre Geometria Analítica aqui: https://brainly.com.br/tarefa/49429988

#SPJ9