Question

Considerando o trecho de texto apresentado e os conteúdos do livro-base Algebra Linear sobre base de autovetores, considere a transformação T:R2→R2 , definido por T(x,y)=(−3x+4y,−x+2y), cujos autovalores da matriz de transformação [T] são λ1=1 e λ2=−2. Assinale a alternativa com a base de autovetores da matriz de transformação de [T]

:
A {(1,−1),(4;0,25)}

B {(−1,1),(2,1)}

C {(1,−1),(1,1)}

D {(1,0),(4,−1)}

E {(1,1),(4,1)}

Answer 1

Resposta E

T(v)=λv, λ=1  temos T(v)=v   T((1,1))=(-3+4,-1+2)=(1,1)  

T(v)=λv, λ=-2  temos T(v)=-2v   T((4,1))=(-12+4,-4+2)=(-8,-2)  =-2(4,1)

-3x+4y=λx (1)

-x+2y=λy   L1 <- L1+ (-3)L2  e L2 <-> L2

Resolvendo o sistema

-x-2y = λy

 -2y =  (-3y+x)λ  ->  λ=1,  -2y=-3y+x  -> x=y   v=(x,x)=x(1,1)

                               λ=-2,  -2y=6y-2x  -> x=4y    v=(4y,y)=y(4,1)      

  {(1,1),(4,1)} é uma base para a transformação linear T

Para λ=1 x=(2-1)y  --> x=y   v=(1,1)

Para λ=-2 x=(2-2)y --> x=y v=(1,1)