Question

Considerando a imagem abaixo (extraída do Google) e sabendo que o lado do quadrado maior vale 1 e que o lado de cada quadrado seguinte vale metade do lado anterior (ou seja, o segundo vale 1/2; o terceiro vale 1/4 e etc) É correto afirmar que o somatório da "concha de caracol"(as partes de circunferência) no ∞ termo valerá exatamente Π ?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo a passo:

No primeiro quadrado temos:

lado = raio = 1

O comprimento (C) de uma circunferência vale C = 2πr. Mas nesse quadrado temos um quarto do seu comprimento: C₁ = 2πr₁/4 = πr₁/2

C₁ = π.1/2 = π/2

No segundo quadrado temos:

lado = raio = 1/2

C₂ = 2πr₂/4 = πr₂/2

C₂ = π.(1/2)/2 = π/4

No terceiro quadrado temos:

lado = raio = 1/4

C₃ = 2πr₃/4 = πr₃/2

C₃ = π.(1/4)/2 = π/8

e assim consecutivamente

C (π/2, π/4, π/8, ....)

Temos uma PG onde:

a₁ = π/2

q = (π/4)/(π/2)=1/2

Soma dos termos de uma PG infinita

S = a₁/(1 - q)

S = (π/2)/(1 - 1/2)

S = (π/2)/(1/2)

S = π