Question

Considerando a figura ao lado, qual o valor de \sin\,\alpha?

Usando a Lei dos Cossenos e Senos

Answer 1

Utilizando a lei dos cossenos e senos no triângulo iremos ter a seguinte formula:
$( \frac{3r}{2} )^2=r^2+r^2-2rr*cos( \alpha ) \\ \frac{9r^2}{4}=2r^2-2r^2*cos(\alpha)$
Cortando-se os r² teremos:
$\frac{9}{4}=2-2*cos(\alpha) \\ 2*cos(\alpha)=2-\frac{9}{4} \\ 2*cos(\alpha)=\frac{8-9}{4} \\ 2*cos(\alpha)=\frac{-1}{4} \\ cos(\alpha)=\frac{-1}{8}$
Agora utilizando uma das identidades que temos podemos isolar o seno:
$sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1 \\ sen^2(\alpha)=1-cos^2(\alpha) \\ sen(\alpha)=\pm\sqrt{1-cos^2(\alpha)} \\ sen(\alpha)=\pm\sqrt{1-(\frac{-1}{8})^2} \\ sen(\alpha)=\pm\sqrt{1-\frac{-1}{64}} \\ sen(\alpha)=\pm\sqrt{\frac{64-1}{64}}$
$sen(\alpha)=\pm\sqrt{\frac{63}{64}} \\ sen(\alpha)=\pm \frac{ \sqrt{63}}{\sqrt{64}} \\ sen(\alpha)=\pm \frac{ \sqrt{63}}{8}$

Agora como podemos observar na figura o alpha nunca será negativo, assim iremos ficar somente com a resposta positiva:
$sen(\alpha)=\frac{ \sqrt{63}}{8}$
Fatorando:
$sen(\alpha)=\frac{ \sqrt{7*3*3}}{8} \\ sen(\alpha)=\frac{ 3\sqrt{7}}{8}$