Question

considerando 2pi <x <pi; resolva a equação cos 2x + 3cos x + 2 = 0

Answer 1

Resolver a equação trigonométrica:

cos 2x + 3 cos x + 2 = 0

Use uma das identidades para o cosseno do arco duplo: cos 2x = 2 cos^2 x - 1. Dessa forma, a equação fica

(2 cos^2 x - 1) + 3 cos x + 2 = 0
2 cos^2 x + 3 cos x - 1 + 2 = 0
2 cos^2 x + 3 cos x + 1 = 0

Faça uma mudança de variável:

cos x = t, com - 1 < t < 1.

Então, a equação fica:

2t^2 + 3t + 1 = 0

Esta é uma equação quadrática. Vamos resolvê-la via fatoração por agrupamento.

Reescreva 3t como 2t + t, e a equação fica

2t^2 + 2t + t + 1 = 0

Fatorando,

2t * (t + 1) + 1 * (t + 1) = 0

Coloque (t + 1) em evidência:

(t + 1) * (2t + 1) = 0
t + 1 = 0 ou 2t + 1 = 0
t = - 1 ou 2t = - 1
t = - 1 ou t = - 1/2

Voltando para a variável x,

cos x = - 1 ou cos x = - 1/2

Como pi < x < 2pi, descarta-se cos x = - 1. Assim, devemos ter

cos x = - 1/2
x = pi + pi/3
x = 3pi/3 + pi/3
x = 4pi/3

Conjunto solução: S = {4pi/3}.

Bons estudos! :-)