Question

Considera a divisão de um polinómio A(x)=$x^4-3 x^{2} +5$ por B(x)=$ax^2+bx+c$, com a, b e c ∈ R.
Quais são os valores de a, b e c sabendo que o quociente e o resto da divisão inteira de A(x) por B(x) são, respetivamente, Q(x)=$x^2+2x-3$ e R(x)=−14$x$+17 ?

Answer 1

 Olá Daniel, bom dia!

 Para resolver o problema, será necessário lembrar/saber que:

Dividendo = divisor x quociente + resto

 Isto posto, de acordo com o enunciado, teremos:

$\\ \displaystyle \mathsf{A(x) = B(x) \cdot Q(x) + R(x)} \\\\ \mathsf{x^4 - 3x^2 + 5 = (ax^2 + bx + c) \cdot (x^2 + 2x - 3) + (- 14x + 17)} \\\\ \mathsf{x^4 - 3x^2 + 5 = ax^4 + 2ax^3 - 3ax^2 + bx^3 + 2bx^2 - 3bx + cx^2 + 2cx - 3c - 14x + 17} \\\\ \mathsf{x^4 - 3x^2 + 5 = ax^4 + (2a + b)x^3 + (- 3a + 2b + c)x^2 + (- 3b + 2c - 14)x + (- 3c + 17)}$

 Ao comparar os termos, iremos obter o sistema abaixo; veja:

$\begin{cases} \mathsf{a = 1} \\ \mathsf{2a + b = 0} \\ \mathsf{- 3a + 2b + c = - 3} \\ \mathsf{- 3b + 2c - 14 = 0} \\ \mathsf{- 3c + 17 = 5}\end{cases}$

Resolvendo o sistema concluímos que: $\boxed{\mathsf{a = 1}}$, $\boxed{\mathsf{b = - 2}}$  e $\boxed{\mathsf{c = 4}}$.