Question

Completando quadrados, resolva.

x²-10x+14=0

Answer 1

vamos lá..

completando quadrado

x²-10x+14=0

adicionar a ambos os lados da equação o quadrado da metade do número que está multiplicando o " x"

no caso o número que multiplica " x" é o 10

logo: (10÷2)²=(5)²=25

x²-10x +25+14=0+25
(x²-10x+25)+14=25
(x+5)²=25-14
(x-5)²=11

x-5=±√11

então

x'= +√11+5
x"= -√11+5

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que a expressão procurada com os quadrados completados é:

  $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf S = \{5 - \sqrt{11},\,5 + \sqrt{11}\}\:\:\:}}\end{gathered} }$

A técnica de completar quadrados é muito importante quando desejamos reescrever uma expressão do segundo grau para a forma:

                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - x')^{2} + k\end{gathered}$

Onde:

 $\Large\begin{cases} x' = Raiz\:de\:multiplicidade\:2\\k = Constante\:pertencente\:aos\:reais\end{cases}$

Seja a equação do segundo grau:

           $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 10x + 14 = 0\end{gathered}$

Agora devemos passar o termo independente para o segundo membro:

              $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 10x = -14\end{gathered}$

Agora devemos adicionar a ambos os membros da equação o quadrado da metade do coeficiente do termo de "x", ou seja:

  $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 10x + \bigg(\frac{-10}{2}\bigg)^{2} = -14 + \bigg(\frac{-10}{2}\bigg)^{2}\end{gathered}$

Resolver as operações e simplificar os cálculos:

      $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} x^{2} - 10x + \frac{(-10)^{2}}{2^{2}} = -14 + \frac{(-10)^{2}}{2^{2}}\end{gathered} }$

             $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 10x + \frac{100}{4} = -14 + \frac{100}{4}\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 10x + 25 = -14 + 25\end{gathered}$

                 $\Large\displaystyle\begin{gathered} x^{2} - 10x + 25 = 11\end{gathered}$

Chegando neste ponto devemos escrever de forma fatorada o primeiro membro da equação. Desta forma, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 5)^{2} = 11\end{gathered}$

Como também queremos resolver a equação, devemos continuar com os cálculos para encontrar as raízes. Então, temos:

                       $\Large\displaystyle\begin{gathered} (x - 5) = \pm\sqrt{11}\end{gathered}$

                                   $\Large\displaystyle\begin{gathered} x = 5 \pm\sqrt{11}\end{gathered}$

Portanto, o conjunto solução da referida equação é:

           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} S = \{5 - \sqrt{11},\,5 +\sqrt{11}\}\end{gathered} }$

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