Question

Como você viu no problema anterior, determinar a primitiva de uma função é, na verdade, a determinação de um conjunto de funções uma vez que a constante c faz que mais de uma função possa ser diferenciada levando ao mesmo integrando presente na integral. Caso se deseje encontrar uma só função a ser diferenciada, deve-se informpar o ponto da curva no qual se deseja encontrar a primitiva.

Com base nessas informações e em conhecimentos correlatos, determine a única função

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades estudadas sobre equações diferenciais e integração.

Seja a equação diferencial:

$\dfrac{dy}{dx}=2x$, em que $y(0)=3$.

Multiplique ambos os lados da equação pelo diferencial $dx$

$dy=2x\,dx$

Integre ambos os lados da equação

$\displaystyle{\int dy=\int2x\,dx}$

Sabendo que $\displaystyle{\int dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy}$, temos:

$\displaystyle{\int y^0\,dy=\int2x\,dx}$

Lembre-se que a integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C}$ e a integral do produto entre uma constante e uma função pode ser reescrito como: $\displaystyle{\int a\cdot f(x)\,dx=a\cdot\int f(x)\,dx}$.

Aplique a regra da constante e da potência.

$\displaystyle{\dfrac{y^{0+1}}{0+1}+C_1=2\cdot\int x\,dx}\\\\\\ y+C_1=2\cdot\left(\dfrac{x^{1+1}}{1+1}+C_2\right)$

Some os valores no expoente e efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$y+C_1=2\cdot\left(\dfrac{x^2}{2}+C_2\right)\\\\\\ y+C_1=x^2+2C_2$

Subtraia $C_1$ em ambos os lados da equação e considere $2C_2-C_1=C$

$y(x)=x^2+C$

Então, utilize a condição de contorno dada pelo enunciado:

$y(0)=0^2+C\\\\\\3=0+C\\\\\\ C = 3$

Dessa forma, a única função que satisfaz esta equação diferencial, dada a condição de contorno é $\bold{y(x)=x^2+3}$.