Question

Um garoto mantém-se na extremidade de uma prancha de mergulho, que é apoiada para duas molas A e B, cada uma com rigidez k=15 kN/m. Na posição mostrada na figura, a prancha está na horizontal. Se o garoto tem massa de 40 kg, determine o ângulo de inclinação da prancha em relação à horizontal depois que ele salta. Despreze o peso da prancha e considere-a inflexível.

Answer 1

O ângulo de inclinação da prancha em relação à horizontal depois que ele salta é de 10,4°.

Fazemos o diagrama do sistema em repouso após o salto do garoto, e dele temos que:

• Rigidez das molas (k) = 15kg.N/m

• Massa do garoto (m) = 40 kg

• Distância entre as molas = 1m

• Distância entre a mola (M₁) e o garoto = 4 m

• Aceleração da gravidade = 9,8 N/m²

• A; comprimento normal da mola (M₁)

• B; comprimento normal da mola (M₂)

• a - b; diferença entre os comprimentos normais das molas

• θ; ángulo de inclinação da prancha em relação à horizontal

Assim a inclinação da prancha é dada por:

$tg\theta =\frac{b-a}{1}\\\\\theta = \arctan(b-a)$ equação I

Logo temos que considerar o quanto a mola (M₁) se distende (Δx₁)e a (M₂) se comprime (Δx₂) para que o sistema esteja na horizontal, assim temos que:

$a+\Delta x_1=b-\Delta x_2\\\\b-a=\Delta x_1+\Delta x_2$ equação II

Agora aplicamos a equação do momento das forças considerando a M₁ como polo:

$F_2\,*\,d_{M_2M_1}=m\;*\;g\;*\;d_{gM_1}$ equação III

E F₂, é a força elástica exercida pela mola M₂, partindo da equação III temos que:

$k\;*\;\Delta x_2\;*\;d_{M_2M_1} = m\;*\;g\;*\;d_{gM_1}$

$\Delta x_2=\frac{m\;*\;g\;*\;d_{gM_1}}{k\;*\;d_{M_2M_1}}$ equação IV

Agora substituimos os dados na equação IV:

$\Delta x_2=\frac{40kg\;*\;9,8N/m^{2}\;*\;4m}{15.000kg.N/m\;*\;1m}=0,10453\;m$

Logo determinamos quanto a mola (M₁) se distende (Δx₁), com o equilíbrio das forças na horizontal:

$F_1+m\;*\;g=F_2$

$k\;*\; \Delta x_1+mg=k\;*\;\Delta x_2$

$\Delta x_1=\frac{k\;*\; \Delta x_2\;-\;m\;*\;g}{k}$

Substituimos os dados:

$\Delta x_2=\frac{15.000kg.N\;*\;0,10453m\;-\;40\kg\;*\;9,8N/m^{2}}{15.000kg.N}=0,0784m$

Finalmente substituimos os dados achados na equação II para determinar a ângulo de inclinação:

$0,0784+0,10453 = b-a\\\\b-a=0,18293\;m$

$\theta =arctg(b-a)\\\\\theta =\arctan \;0,18293\\\\\theta =10,4^{o}$