Question

Como você pode representar a expressão
$\sqrt{3 \sqrt{3 \sqrt{3} } }$
NA FORMA DE UM ÚNICO RADICAL ?

PLEASE ​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Para que um número entre para a raiz ele deve ser elevado ao índice da raiz

$3 =\sqrt{3^{2}} \\\\\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3}}}\\\sqrt{3^2.3\sqrt{3}}\\\sqrt{3.3^{3^{2}}}\\\sqrt{3.3^6}\\\sqrt{3^7}$

Answer 2

Resposta:

$\sqrt[8]{3^{7} }$  

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Como você pode representar a expressão  NA FORMA DE UM ÚNICO RADICAL ?

Resolução

Neste tipo de exercícios , para obter um único radical , precisa de saber duas coisas simples , mas importantes para chegar à resposta correta.

1ª Passagem de um valor exterior a um radical, para dentro desse radical

Exemplo:

$5\sqrt{7} =\sqrt{5^{2} *7}$

Porque dá assim?

Mostrar , na forma de potência ,o valor que está a multiplicar o radical

$5=5^{1}$

Agora vai querer passar para dentro de uma raiz quadrada ( tem índice 2 , só que se convenciona que quando é raiz quadrada não é necessário escrever o 2 no índice, mas tem que saber que ele está lá, embora não registado).

Como fazer?

Pega na sua potência exterior e eleva essa potência ao índice da raiz.

$(5^{1} )^2$

Que em matemática se diz ser "potência de potência"

Mantém a base, 5 , e ela vai ficar elevada ao produto dos expoentes

$5^{1*2} = 5^{2}$

Agora já pode passar o que estava fora para dentro do radical

$5\sqrt{7} =\sqrt{5^{2} *7}$

Ficando o que entra a multiplicar pelo que já estava debaixo do símbolo raiz.

2ª - Radicais de radicais passar a um único radical

Quando tem uma expressão que tem um radical dentro de outro radical,

tipo :  

$\sqrt[2]{5*\sqrt[3]{7} }$    

Se quer transformar num único radical, em primeiro lugar vai passar o " 5 " para dentro do radical à sua direita ( no modo explicado acima)

MAS

não elimina o radical de índice 2.

$\sqrt[2]{\sqrt[3]{5^{1*3}*7 } } =\sqrt[2]{\sqrt[3]{5^{3}*7 } } = \sqrt[2*3]{5^{3}*7 } =\sqrt[6]{5^{3}*7 }$

Radical de radical é igual a um único radical, cujo índice é o produto dos dois índices !

Agora resolvamos o problema

Além de ter em atenção todos os procedimentos acima, tem uma regra de prioridade, que convém que cumpra ,sem falta.

Aqui vai começar por eliminar o radical mais à direita, portanto o último, para evitar erros (que facilmente se fazem, se não for feito deste modo).

$\sqrt[2]{3*\sqrt[2]{3*\sqrt[2]{3} } }$  

$\sqrt[2]{3*\sqrt[2]{\sqrt[2]{3^{1*2}* 3^1} } }$

Observação : $3^{2} *3^{1} = 3^{2+1} = 3^{3}$

Produto de potências com a mesma base, mantém-se a base e somam-se os expoentes.

$\sqrt[2]{3*\sqrt[4]{3^{3} } }$

$\sqrt[2]{\sqrt[4]{3^{1*4} *3^{3} } }$  

$\sqrt[2*4]{3^{7} }$  

$\sqrt[8]{3^{7} }$  

$\sqrt[8]{2187}$   = 2,61505  ( valor aproximado)

$\sqrt{3\sqrt{3\sqrt{3} } }$ = 2,61505  ( valor aproximado)

++++++++++++++++++++

Sinais:  ( * ) multiplicar

++++++++++++++++++++

Nas respostas que dou, quase na totalidade, procuro não só efetuar os cálculos, mas também explicar o porquê de como e porque se fazem de determinada maneira.

Se quer ver apenas os cálculos, eles estão aqui.

Se quer aprender como se faz, veja minha resolução, porque eu ensino.