Question

Como tu representas em termos de limite (definição formal) a relação entre as áreas dos polígonos e a do círculo quando tu aumentas o número de triângulos "Ti" internos à circunferência?

Answer 1

(Observação no lugar de $T_{i}$ utilizarei $n$).


$\bullet\;\;$ Seja $n$ o número de lados de um polígono regular inscrito a uma circunferência de raio $r.$

Tomemos os triângulos isósceles, cujas bases são cada lado do polígono regular inscrito, o ângulo do vértice de cada triângulo é $\frac{2\pi}{n},$ e os dois lados congruentes de cada triângulo isósceles são raios da circunferência.


Sendo assim, a área de cada triângulo é

$A_{\triangle}(n)=\frac{1}{2}\,r^{2}\sin(\frac{2\pi}{n})\;\;\;\;\;\mathbf{(i)}$


$\bullet\;\;$ O polígono regular inscrito à circunferência é formado por $n$ triângulos, cuja área de cada um deles é dada pela equação $\mathbf{(i)}.$ Dessa forma, a área do polígono regular inscrito é

$A_{p}(n)=n\cdot A_{\triangle}\\ \\ A_{p}(n)=n\cdot \frac{1}{2}\,r^{2}\sin(\frac{2\pi}{n})\\ \\ A_{p}(n)=\frac{1}{2}\,r^{2}\cdot n\sin(\frac{2\pi}{n})\;\;\;\;\;\mathbf{(ii)}$


$\bullet\;\;$ Se o número de lados do polígono inscrito aumentar consideravelmente, a equação $\mathbf{(ii)}$ oferece uma boa estimativa para a área do círculo no qual o polígono está inscrito.

Chamemos a área desse círculo por $A_{c}.$


$\bullet\;\;$ Utilizando a definição formal de limite de uma sequência, podemos escrever o seguinte:

Dizemos que o limite de $A_{p}(n)$ quando $n$ tende a infinito é $A_{c},$ denotado por $\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,A_{p}(n)=A_{c}$

se, e somente se,

para todo $\varepsilon >0,$ existe um $n_{0}\in \mathbb{N},$ tal que

se $n > n_{0},$ então $\left|A_{p}(n)-A_{c}\right|<\varepsilon.$


ou seja,

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\left[\frac{1}{2}\,r^{2}\cdot n\sin(\frac{2\pi}{n}) \right ]=A_{c}$ se, e somente se,

para todo $\varepsilon >0,$ existe um $n_{0}\in \mathbb{N},$ tal que

se $n>n_{0},$ então $\left|\frac{1}{2}\,r^{2}\cdot n\sin(\frac{2\pi}{n}) -A_{c}\right|<\varepsilon.$
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Obs.: De fato, utilizando propriedades operatórias dos limites, temos que

$\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\left[\frac{1}{2}\,r^{2}\cdot n\sin(\frac{2\pi}{n}) \right ]\\ \\ =\frac{1}{2}\,r^{2}\,\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\left[n\sin(\frac{2\pi}{n}) \right ]$


Multiplicando e dividindo por $2\pi,$ temos

$=\frac{2\pi}{2}\,r^{2}\,\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\left[\frac{n}{2\pi}\sin(\frac{2\pi}{n}) \right ]\\ \\ =\pi r^{2}\,\underset{n\to \infty}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\sin(\frac{2\pi}{n})}{\frac{2\pi}{n}}$


Fazendo $u=\frac{2\pi}{n},$ temos que

$u\to 0$ quando $n \to \infty.$ Substituindo, temos


$\pi r^{2}\,\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\sin(u)}{u}$


Ora, aqui apareceu o limite trigonométrico fundamental, e $\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\sin(u)}{u}=1.$ Portanto,

$\pi r^{2}\,\underset{u \to 0}{\mathrm{\ell im}}\,\dfrac{\sin(u)}{u}\\ \\ =\pi r^{2}\cdot 1\\ \\ =\pi r^{2}\\ \\ \\ \boxed{ \begin{array}{c} A_{c}=\pi r^{2} \end{array}}$