Question

Como trabalho de geometria, uma equipe de alunos deveria construir um cone circular reto com 15cm de raio da base e 18cm de geratriz. A equipe decidiu estruturar a superfície do cone em cartolina e, após alguns cálculos, concluiu que a superfície lateral deveria ser construída a partir de um setor circular de raio R e ângulo central de medida a, em grau. Determine R, a e a medida de H da altura do cone de ser construído.

Answer 1

Temos que R = 18 cm, H = 3√11 cm e a = 300°.

Observe a figura abaixo.

Na figura da esquerda temos o cone com a sua altura H, a geratriz igual a 18 cm e o raio da base igual a 15 cm.

Perceba que é formado um triângulo retângulo. Então, utilizando o Teorema de Pitágoras:

18² = H² + 15²

324 = H² + 225

H² = 99

H = 3√11 cm.

Ao abrirmos o cone, obtemos um setor circular, como mostra a figura do lado direito.

O raio desse setor coincide com a geratriz do cone. Logo, R = 18 cm.

O comprimento do setor equivale ao comprimento da base do cone de raio 15.

Logo,

C = 2π.15

C = 30π cm.

A área do setor é igual a área lateral do cone.

A área do setor é igual a $\frac{\pi r^2 a}{360}$ e a área lateral do cone é igual a πrg.

Assim,

$\pi .15.18 = \frac{\pi 18^2 .a}{360}$

270.360 = 34a

97200 = 324a

a = 300°.