Question

Como se revolve o limite abaixo : Obs: o professor não quer L´Hopital
limite da raiz cubica de x^3 +3 \ x^3+ 27

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{\sqrt[3]{x+3}}{\sqrt[3]{x^{3}+27}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{\sqrt[3]{x+3}\cdot(\sqrt[3]{x+3})^{2}}{\sqrt[3]{x^{3}+27}\cdot(\sqrt[3]{x+3})^{2}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{(\sqrt[3]{x+3})^{3}}{\sqrt[3]{x^{3}+27}\cdot\sqrt[3]{x^{2}+6x+9}}$


$\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x^{3}+27)\cdot(x^{2}+6x+9)}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{x^{5}+6x^{4}+9x^{3}+27x^{2}+162x+243}}$

Vamos fatorar o polinômio $p(x)=x^{5}+6x^{4}+9x^{3}+27x^{2}+162x+243$

Claramente, x = -3 é raiz, pois (x³ + 27) é fator do polinômio e x = -3 é raiz desse fator. Daí, p(x) é divisível por (x - [-3]) = (x + 3)

Dividindo p(x) por (x + 3), pelo algoritmo de Briot-Ruffini (imagem), encontramos $p(x)=(x+3)(x^{4}+3x^{3}+0x^{2}+27x+81)$

Veja que x = -3 é raiz de $x^{4}+3x^{3}+0x^{2}+27x+81$, pois

$(-3)^{4}+3(-3)^{3}+27(-3)+81=81-81-81+81=0$

Dividindo $x^{4}+3x^{3}+0x^{2}+27x+81$ por (x + 3), pelo algoritmo de Briot-Ruffini (imagem), encontramos que

$x^{4}+3x^{3}+27x+81=(x+3)(x^{3}+27)$

Então:

$p(x)=(x+3)(x^{4}+3x^{2}+27x+81)=(x+3)(x+3)(x^{3}+27)\\\\\boxed{\boxed{p(x)=(x+3)^{2}(x^{3}+27)}}$

Como vimos, x = -3 é raiz de (x³ + 27), pois

$(-3)^{3}+27=-27+27=0$

Dividindo (x³ + 27) por (x + 3) (imagem), encontramos

$x^{3}+27=(x+3)(x^{2}-3x+9)$

Substituindo em p(x):

$p(x)=(x+3)^{2}(x^{3}+27)=(x+3)^{2}(x+3)(x^{2}-3x+9)\\\\p(x)=(x+3)^{3}(x^{2}-3x+9)\\\\\boxed{\boxed{x^{5}+6x^{4}+9x^{3}+27x^{2}+162x+243=(x+3)^{3}(x^{2}-3x+9)}}$
__________________________________

Voltando ao limite:

$\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{x^{5}+6x^{4}+9x^{3}+27x^{2}+162x+243}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x+3)^{3}(x^{2}-3x+9)}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{\sqrt[3]{(x+3)^{3}}\sqrt[3]{x^{2}-3x+9}}$


$\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{x+3}{(x+3)\sqrt[3]{x^{2}-3x+9}}$

Como x ≠ -3, pois o limite estuda o comportamento da função para x arbitrariamente próximo de -3, mas diferente de -3, temos que x + 3 ≠ 0, então podemos cancelar x + 3, ficando com

$\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\lim\limits_{x\rightarrow-3}\dfrac{1}{\sqrt[3]{x^{2}-3x+9}}$

Não há mais indeterminação, então podemos substituir normalmente:

$\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{(-3)^{2}-3(-3)+9}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{9+9+9}}\\\\\\\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\dfrac{1}{\sqrt[3]{27}}\\\\\\\boxed{\boxed{\lim\limits_{x\rightarrow-3}\sqrt[3]{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}=\dfrac{1}{3}}}$

Answer 2

$L=\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}\;^{3}\!\!\!\!\sqrt{\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}\\ \\ \\ =\,^{3}\!\!\!\!\sqrt{\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x+3}{x^{3}+27}}\\ \\ \\ =\,^{3}\!\!\!\!\sqrt{L_{1}}~~~~~~\mathbf{(i)}$

onde $L_{1}=\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x+3}{x^{3}+27}.$


$\bullet\;\;$ Calculando $L_{1}:$

$L_{1}=\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x+3}{x^{3}+27}$


Fazendo $x\to-3,$ temos uma indeterminação do tipo $0/0.$ Isto significa que o numerador e o denominador são divisíveis por $(x+3):$


Fatorando o numerador e o denominador por $(x+3),$ via divisão de polinômios, obtemos

$L_{1}=\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{x+3}{(x+3)\cdot (x^{2}-3x+9)}\\ \\ \\ =\underset{x\to -3}{\mathrm{\ell im}}\;\dfrac{1}{x^{2}-3x+9}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{(-3)^{2}-3\cdot (-3)+9}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{9+9+9}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{27}$

$\bullet\;\;$ Substituindo em $\mathbf{(i)},$ obtemos o limite dado inicialmente:

$L=\,^{3}\!\!\!\!\sqrt{L_{1}}\\ \\ \\ =\,^{3}\!\!\!\!\sqrt{\dfrac{1}{27}}\\ \\ \\ =\dfrac{1}{3}.$