Question

Determine as coordenadas dos vértices da parábola correspondente a cada função.
a) f(x) = x²-2x+3
b) f(x) = 4x²+4
c) f(x) = 2x²-12x+7
d) f(x) = 3x²-2x-1
e) f(x) = 1/3x²-10/3x+5
f) f(x) = x²-√3x

Answer 1

Para encontrarmos as coordenadas do vértice (Xv, Yv) das equações do segundo grau ax²+bx+c = 0, utilizaremos as seguintes fórmulas:

Xv = -b/2a
Yv = -Δ/4a
 
onde: Δ = b² - 4ac


a) f(x) = x²-2x+3
a = 1
b= -2
c =3

Observe que a>0, portando a parábola tem concavidade para cima.

Xv = -(-2)/2*1 
Xv = 2/2
Xv = 1

Δ= (-2)² - 4 * 1 * 3
Δ = 4 - 12
Δ = -8

Yv= -(-8)/4
Yv = 8/4
Yv = 2 

(1,2)

b) f(x) = 4x²+4
a= 4
b= 4

Xv= -4/2*4
Xv = -4/8
Xv = -1/2

Δ= 4²- 4*4*0
Δ = 16 - 0
Δ = 16

Yv = -16/4*4
Yv = -16/16
Yv = -1

(-1/2,-1)

c) f(x) = 2x²-12x+7
a= 2
b= -12
c = 7

Xv = -(-12)/2*2
Xv = 12/4
Xv = 3

Δ = (-12)²-4*2*7
Δ = 144 - 56
Δ = 88

Yv = -88/4*2
Yv = -88/8
Yv= -11 

(3,-11)

d) f(x) = 3x²-2x-1
a= 3
b= -2
c = -1

Xv = -(-2)/2*3
Xv = 4/6
Xv = 1/3

Δ= (-2)²-4*3*(-1)
Δ = 4+12
Δ = 16

Yv=-16/4*3
Yv = -4/3

(1/3,-4/3)


e) f(x) = 1/3x²-10/3x+5
a = 1/3
b = -10/3
c = 5

Xv= -(-10/3)/2*(1/3)
Xv = 10/3 / 2/3
Xv= 10/3 *3/2
Xv = 5

Δ = (-10/3)²-4*(1/3)*5
Δ = 100/9-20/3
Δ = 100-60/3
Δ = 40/3

Yv = -40/3 / 4* (1/3)
Yv = -40/3 * 3/4
Yv = -10

(5,-10)


f) f(x) = x²-√3x
a= 1
b = -√3

Xv = -(-√3)/2*1
Xv = √3/2

Δ = (-√3)² - 4* 1 * 0
Δ = 3

Yv = -3/4*2
Yv = -3/8

(√3/2, -3/8)

Answer 2

As coordenadas dos vértices de cada parábola, são:

• a) (1, 2)
• b) (- 1/2, - 1)
• c) (3, - 11)
• d) (1/3, - 4/3)
• e) (5, - 10)
• f) (√3/2, - 3/8)

Vértices da parábola

A parábola é uma curva infinita que aparece em um plano cartesiano, que são descritas por uma equação do segundo grau, onde o seu vértice, que é os pontos onde há a mudança de direção, são determinados por fórmulas, que são:

• Xv = - b/2a
• Yv = - Δ/4a

Calculando os vértices, temos:

a) f(x) = x²- 2x + 3

Xv = - (- 2)/2*1

Xv = 2/2

Xv = 1

Δ= (- 2)² - 4 * 1 * 3

Δ = 4 - 12

Δ = - 8

Yv= - (- 8)/4

Yv = 8/4

Yv = 2

• Xv = 1
• Yv = 2

b) f(x) = 4x²+ 4

Xv= - 4/2*4

Xv = - 4/8

Xv = - 1/2

Δ= 4²- 4*4*0

Δ = 16 - 0

Δ = 16

Yv = - 16/4*4

Yv = - 16/16

Yv = - 1

• Xv = - 1/2
• Yv = - 1

c) f(x) = 2x² - 12x + 7

Xv = - (- 12)/2*2

Xv = 12/4

Xv = 3

Δ = (- 12)²- 4*2*7

Δ = 144 - 56

Δ = 88

Yv = - 88/4*2

Yv = - 88/8

Yv= - 11

• Xv = 3
• Yv = - 11

d) f(x) = 3x²- 2x - 1

Xv = - ( -2)/2*3

Xv = 4/6

Xv = 1/3

Δ = (- 2)²- 4*3*(-1)

Δ = 4 + 12

Δ = 16

Yv = - 16/4*3

Yv = - 4/3

• Xv = 1/3
• Yv = - 4/3

e) f(x) = 1/3x² - 10/3x + 5

Xv= - (- 10/3)/2*(1/3)

Xv = 10/3/2/3

Xv= 10/3*3/2

Xv = 5

Δ = (- 10/3)² - 4*(1/3)*5

Δ = 100/9 - 20/3

Δ = 100 - 60/3

Δ = 40/3

Yv = - 40/3 / 4* (1/3)

Yv = - 40/3 * 3/4

Yv = - 10

• Xv = 5
• Yv = - 10

f) f(x) = x² - √3x

Xv = - (- √3)/2*1

Xv = √3/2

Δ = (-√3)² - 4* 1 * 0

Δ = 3

Yv = -3/4*2

Yv = - 3/8

• Xv = √3/2
• Yv = - 3/8

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