Question

Como se resolve uma integral com modulo dentro?

Ex:

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \limits_{ - 2}^{1} |x| dx$

Primeiro devemos lembrar da definição de módulo, que diz:

$|x| = \begin{cases} x, \: se \: x \geqslant 0 \\ - x, \: se \: x < 0 \end{cases}$

Nós temos basicamente a definição, portanto devemos fazer duas integrais que se somam. A primeira será para quando o |x| for igual a -x, observando a definição citada acima, temos para x < 0, devemos usar -x, logo, vamos fazer a integral variando de -2 à 0, com o integrando igual a -x. Do mesmo jeito a outra integral, será 0 à 1, com integrando x:

$\int \limits_{ - 2}^{0} - xdx + \int \limits_{ 0}^{1} x dx$

Resolvendo essa expressão, temos:

$- \frac{x {}^{2} }{2} \bigg |_{ - 2}^{0} + \frac{x {}^{2} }{2} \bigg |_{ 0}^{1}$

Aplicando o Teorema fundamental do cálculo:

$- \frac{0 {}^{2} }{2} + \frac{ {( - 2)}^{2} }{2} - \left( - \frac{ 1 {}^{2} }{2} - \frac{0 {}^{2} }{2} \right) \\ \\ 2 + \frac{1}{2} = \frac{4 + 1}{2} = \boxed{ \frac{5}{2} u.a}$

Espero ter ajudado