Question

Como se resolve, não graficamente, a equação sen(2x) = 3cos(5x), no intervalo intervalo [0,2pi?

Answer 1

Usando as fórmulas

sen(a+b) = sen(a) cos(b)  + sen(b) cos(a)

cos(a+b) = cos(a) cos(b)  - sen(a) sen(b)

Dá trabalho, mas podemos desenvolver sen(2x) e cos(5x) de forma a obtermos uma expressão contendo apenas sen(x) e cos(x):

sen(2x) = 2 sen(x) cos(x)

cos(5x) = cos⁵(x) - 10 sen²(x) cos³(x) + 5 sen⁴(x) cos(x)

Para ficar mais fácil de escrever, vou usar C =cos(x) e S = sen(x). Assim, a equação sen(2x) = 3cos(5x) é o mesmo que

2 C S = 3[ C⁵ - 10 S² C³ + 5 S⁴ C]

Isso é basicamente uma equação do quinto grau. Mas ela possui uma raiz "facil", então caímos uma equação do quarto grau. Fica assim. Passando todos os termos pro mesmo lado e fatorando o C temos:

C [ 3C⁴ - 30 S²C² + 15S⁴ - 2S] = 0

Dai temos duas opções:

1º caso: C = 0

Isso é o mesmo que cos(x) = 0. Isso gera as raízes x = π/2 e x = 3π/2.

2º caso: 3C⁴ - 30 S²C² + 15S⁴ - 2S = 0

Primeiro transformamos isso numa equação do quarto grau de fato. Para isso basta usar a identidade sen²(x) + cos²(x) = 1, que na nossa notação é o mesmo que C² = 1-S². Logo a equação fica:

3(1 - S²)² - 30 S²(1-S²) + 15S⁴ - 2S = 0

Desenvolvendo temos

48S⁴ - 36S² - 2S + 3 = 0

Infelizmente essa equação não tem nenhuma raiz "fácil". Mas existe uma fórmula para equação do quarto grau, então ainda é possível resolver. Para essa, há 4 raízes reais distintas, vamos denotá-las por α, β, γ, δ. Elas valem aproximadamente:

sen(x) = S = α ≈ -0,76797

sen(x) = S = β ≈ -0,35069

sen(x) = S = γ ≈ 0,27511

sen(x) = S = δ ≈ 0,84354

Coloquei  como imagem a fórmula para raízes da equação do quarto grau e uma expressão exata para essas raízes como imagem.

Enfim, como estamos trabalhando no intervalo [0, 2π], cada uma das soluções acima produz duas raízes:

x = arcsen(α) + 2π  ou x =  π - arcsen(α)

x = arcsen(β) + 2π ou x =  π - arcsen(β)

x = arcsen(γ)  ou x =  π - arcsen(γ)

x = arcsen(δ)  ou x =  π - arcsen(δ)

juntando com as raízes x = π/2 e x = 3π/2 que já tinhamos, obtemos um total de 10 raízes no intervalo [0, 2π] para a equação 2 sen(2x) = 3cos(5x)

Obs.: Embora nesse caso é possível encontrar uma expressão precisa para as raízes pois a equação foi "apenas" do quarto grau, em geral uma equação que envolve cos(nx) e sen(nx) vira uma equação de grau 'n' em x. Assim em geral restam apenas métodos numéricos.

Obs.2: Ao desenvolver sen(nx) e cos(nx) vamos obter um polinômio de grau n nas variáveis cos(x) e sen(x). Por exemplo, sendo

P(t, r) = t⁵ - 10r²t³ + 5r⁴t

então cos(5x) = P(cos(x), sen(x))

Para pesquisar sobre o assunto procure sobre polinômios de Chebyshev