Question

Como se faz pra mostrar que 2+√2 = ∛(20+14√2). Obrigada a quem ajudar.

Answer 1

Resposta:

Dentre os métodos de resolução,abordarei três:

Método 1 : por aproximação de raízes

Supondo √2 ≅ 1,4, temos:

2+1,4=∛(20+14*1,4) => 3,4 = ∛(20+19,6) => 3,4=∛39,6

Bom,3,4³=39,3 ≅ 39,6. Logo,a igualdade vale.

Método 2: utilização de produto notável

Vamos elevar ambos os lados ao cubo.

(2+√2)³=20+14√2 => 8+12√2+12+√2³ = 20+14√2

Veja que do lado esquerdo da igualdade usamos o fato de que (a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³.

Já que √2³ = √(2²*2) = √4 * √2 = 2√2,então temos no lado esquerdo da igualdade:

8+12√2+12+2√2 = 20+14√2

Método 3 : utilização de variáveis

Suponha que existam a,b reais tal que:

a+√b = ∛(20+14√2)

Elevando ambos os lados ao cubo:

a³+3a²√b+3ab+b√b = 20+14√2

Evidenciando a e √b:

a(a²+3b)+√b(3a²+b) = 20+14√2

Daí,podemos afirmar que:

I.a(a²+3b)=20

II.√b(3a²+b)=14√2

De II,concluímos que:

√b=√2 <=> b=2

3a²+b=14 => a²=(14-2)/3 <=> a= 2 ou a = -2

Para descobrir o real valor de a,vamos calcular qual valor satisfaz I:

Para a=2:

2(4+6) = 2*10=20 (satisfaz I)

Para a= -2:

-2 * (4+6) = -20 (não satisfaz I)

Portanto,a+√b = 2+√2

Answer 2

Um pouco de teoria:

Primeiramente, considere o seguinte radical cúbico duplo (expressão irracional) genérico $\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}$, em que $a,\ b$ são inteiros distintos de zero $(a,\ b\ \in\ \mathbb{Z^{*}})$, $c$ é um inteiro positivo $(c\ \in\ \mathbb{Z_{+}^{*}})$ e $\sqrt{c}$ um número irracional também positivo $\left(\sqrt{c}\ \in\ \mathbb{R_{+}^{*}}\setminus\mathbb{Q}\right)$. Objetivando transformar o radical acima em uma soma equivalente e de escrita mais simplificada, faz-se necessário pensar na existência de uma soma de duas parcelas, que, ao ser elevada à terceira potência (cubo) resulte no radicando $a+b\sqrt{c}$. Note que exatamente uma das duas únicas parcelas da referida soma deve ser um número irracional do tipo $y\sqrt{c}$, onde $y$ é um inteiro não nulo $(y\ \in\ \mathbb{Z^{*}})$, e a outra é um inteiro não zero $x$ $(x\ \in\ \mathbb{Z^{*}})$. O porquê disso é evidente, visto que ao "cubarmos" (elevarmos ao cubo) a expressão $x+y\sqrt{c}$, encontraremos uma potência que também possui o irracional $\sqrt{c}$ em sua composição. Dessa forma, devemos escrever:

$\sqrt[3]{a+b\sqrt{c}}=x+y\sqrt{c}\ \ \ \ \ \ (i)$

Conhecendo a igualdade acima, basta elevar ambos os membros à terceira potência (ao cubo), e depois "chutar" valores para $x$ e $y$ (os valores de cada são geralmente $1,\ 2,\ 3$) que satisfazem as duas equações que surgirão após "cubar" a igualdade $(i)$. Este é o modo mais genérico, sendo indicado apenas em último caso. Existe um caso particular bem interessante e que facilita muito (vai facilitar nesta resolução), que é quando a expressão $x+y\sqrt{c}$ é do tipo $x+\sqrt{c}$, ou seja, para $y=1$ $(x+y\sqrt{c}=x+\sqrt{c}\ \Leftrightarrow\ y=1)$. Usaremos $x+\sqrt{c}$ em vez de $x+y\sqrt{c}$ quando tivermos a certeza de que $y=1$ . Baseado no caso particular mencionado logo acima, tomarei a liberdade de enunciar uma propriedade interessante que foi observada por mim. Tal propriedade afirma que o inteiro $y$ será igual a $1$ se, e somente se, o resultado $x^2=\dfrac{b-c}{3}$ for um quadrado perfeito positivo, ou seja:

$y=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ x^{2}=\cfrac{b-c}{3}\ \in\ \{1,4,9,16,25,36,\cdots\}$

E, para $y=1$, o único valor para $x$ é aquele que verifica a seguinte igualdade:

$x\left(x^{2}+3c\right)=a$

Resolução:

Tendo em mente todos os conceitos abordados acima, fica fácil resolver o exercício. Baseado em tudo que foi dito na teoria acima, suporemos que $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$ possa ser escrita, de maneira equivalente e simplificada, como segue:

$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=t+q\sqrt{2};\ q,\ t\ \in\ \mathbb{Z^{*}}$

Também é sabido que:

$q=1\ \ \ \Leftrightarrow\ \ \ t^{2}=\cfrac{14-2}{3}=4\ \in\ \mathbb\{1,4,9,16,25,36,\cdots\}$

E por ser verdade que $t^{2}=4\ \in\ \{1,4,9,16,25,\cdots\}$, obtém-se:

$q=1$

E, para $q=1$, o único valor para $t$ é $t=2$, pois $t=-2$ não verifica a seguinte igualdade:

$t\left(t^{2}+6\right)=20$

Por fim, está comprovado que o radical cúbico duplo $\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}$ pode ser escrito, de maneira equivalente e simplificada, por $2+\sqrt{2}$. Ou seja:

$\sqrt[3]{20+14\sqrt{2}}=2+\sqrt{2}$

Obs.: ainda relacionado à teoria, caso seja comprovado o fato de $y$ ser diferente de $1$ $(y\neq 1)$, ou equivalentemente $x^{2}=\cfrac{b-c}{3}$ não ser um quadrado perfeito positivo $\left(x^{2}=\dfrac{b-c}{3}\ \notin\ \{1,4,9,16,25,36,\cdots\}\right)$, deve-se proceder do modo mais genérico possível, e com isso faz-se necessário partir da equação $(i)$ e seguir de acordo com as orientações dadas.