Question

Como se desenvolve esse tipo de problema?

Answer 1

Olá.

Nesse tipo de questão, deve racionalizar o denominador - ou seja, é basicamente tornar o denominador racional (pertencer ao conjunto dos racionais). Para isso, um dos métodos é multiplicar a fração pelo valor do denominador, mas com o sinal inverso do termo com raiz. Segue exemplo:

$\mathsf{\dfrac{a}{b-\sqrt c}=\dfrac{a}{b-\sqrt{c}}\cdot\dfrac{b+\sqrt c}{b+\sqrt c}}$

Resolvendo a questão acima, teremos:

$\mathsf{\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}\cdot\dfrac{3+\sqrt3}{3+\sqrt3}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\dfrac{\left(3+\sqrt3\right)\left(3+\sqrt3\right)}{\left(3-\sqrt3\right)\left(3+\sqrt3\right)}}$

Tendo em mente que:

(a-b)(a+b) = a² - b²
(a)(a) = a²
(a + b)² = a² + 2ab + b²

Continuemos...

$\mathsf{\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\dfrac{\left(3+\sqrt3\right)\left(3+\sqrt3\right)}{\left(3-\sqrt3\right)\left(3+\sqrt3\right)}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\dfrac{\left(3+\sqrt3\right)^2}{3^2-(\sqrt3)^2}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\dfrac{3^2+2\cdot3\sqrt3+(\sqrt3)^2}{9-(\sqrt3)^2}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\dfrac{12+6\sqrt3}{9-3}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=\dfrac{12+6\sqrt3}{6}}\\\\\\\mathsf{\dfrac{3+\sqrt3}{3-\sqrt3}=2+\sqrt3~~~\checkmark}$

Qualquer dúvida, deixe nos comentários.
Bons estudos.